Serie 6

Prof. Dr. J. Heber
L. Schiemanowski
WiSe 2014/15
Übungen zu Algebraische Topologie“
”
Serie 6
23. Es sei X ein topologischer Raum und f : X → S n stetige Abbildung. Zeigen Sie:
Falls f nicht-surjektiv ist, etwa mit p0 ∈ S n \f (X) , so ist f homotop zur konstanten
Abbildung X → S n , x 7→ −p0 .
(Solche Abbildungen nennt man auch nullhomotop“).
”
24. Zeigen Sie, dass Homotopie von Abbildungen verträglich ist mit Kompositionen:
Es seien f, f˜ : X → Y und g, g̃ : Y → Z stetige Abbildungen. Es gebe Homotopien
F : X × [0, 1] → Y mit F0 = f , F1 = f˜ und G : Y × [0, 1] → Z mit G0 = g , G1 = g̃.
Dann sind auch die Abbildungen g ◦ f und g̃ ◦ f˜ homotop zueinander.
25. (Retrakte topologischer Räume) Es sei A ⊂ X Teilraum des topologischen Raums
X und ι : A → X die Inklusionsabbildung. Falls eine stetige Abbildung r : X → A
existiert mit r ◦ ι = idA , so heißt r eine Retraktion auf A und der Teilraum A ein
Retrakt von X. Zeigen Sie:
(a) Jeder Untervektorraum ist ein Retrakt des Rn .
3
2
2
2
Der Kreis {(x, y, 0)
p ∈ R : x + y = R } ist Retrakt des vollen Rotationstorus
{(x, y, z) ∈ R3 : ( x2 + y 2 − R)2 + z 2 ≤ r2 } (0 < r < R).
(b) Ist A Retrakt von X, so sind die von ι induzierten Homologie-Homomorphismen
ι∗ : Hp (A) → Hp (X) , p ∈ N0 , injektiv.
(c) Zeigen Sie, dass S n−1 kein Retrakt des abgeschlossenen Einheitsballes Dn ist.
Verwenden Sie dazu, dass die (n − 1)-te Homologiegruppe der (n − 1)-Sphäre,
Hn−1 (S n−1 ) , nicht-trivial ist (Beweis später in der Vorlesung).
26. (Deformationsretrakte topologischer Räume) Es sei ι : A → X wie in Aufgabe 25.
Es existiere eine Retraktion r : X → A . Man nennt r eine Deformationsretraktion
und A einen Deformationsretrakt von X, falls idX homotop zu ι ◦ r : X → X ist.
Zeigen Sie:
(a) Für X = [−1, +1]2 \{(0, 0)} , A = ∂ [−1, +1]2 (Randquadrat) definiert
(u , v)
r : X → A , r(u, v) =
max {|u| , |v|}
eine Deformationsretraktion.
(b) Ist A ⊂ X Deformationsretrakt von X , so sind A und X homotopieäquivalent
und ι induziert Isomorphismen der Homologiegruppen ι∗ : Hp (A) → Hp (X) .
(c) Die Sphäre S n und Rn+1 \{0} haben isomorphe Homologiegruppen in jeder
Dimension p ∈ N0 .
Abgabe: Bis Di, den 9.12.2014, in Lothar Schiemanowskis Postfach (LMS4 - 3. Stock).