Aufgaben zur Vorlesung Topologie

Aufgaben zur Vorlesung Topologie
Prof. Dr. Jörg Jahnel
Blatt 10
Sommersemester 2017
1. Eine stetige Abbildung f : X → Y zwischen Hausdorff-Räumen heißt eigentlich, wenn für
jedes Kompaktum K ⊆ Y das Urbild f −1 (K) kompakt ist. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen
äquivalent sind.
i) f : X → Y ist eigentlich.
ii) Die Abbildung f + : X + → Y + zwischen den Ein-Punkt-Kompaktifizierungen mit
f (x) falls x ∈ X ,
x 7→
∞ falls x = ∞ ,
ist stetig.
2. Es seien X ein lokal kompakter, nicht kompakter topologischer Raum, e: X → K eine
Kompaktifizierung und i: X → X + die Ein-Punkt-Kompaktifizierung.
Zeigen Sie, daß es genau eine stetige Abbildung f : K → X + gibt derart, daß i = f ◦e.
3. Es sei X ein kompakter topologischer Raum.
Zeigen Sie: Erfüllt X das zweite Abzählbarkeitsaxiom, so ist X metrisierbar.
4. Zeigen Sie, daß das Produkt abzählbar vieler metrisierbarer topologischer Räume wieder
metrisierbar ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß Sie die Metriken auf den Faktoren
P∞ −nals durch 1 beschränkt
annehmen dürfen. Betrachten Sie dann die Metrik d(x, y) := n=1 2 dn (xn , yn ).
Abgabetermin: Donnerstag, 29. Juni 2017, vor der Vorlesung