¨Ubungen zur Topologie Blatt 2 Markus Szymik, Mark Ullmann

Übungen zur Topologie
Blatt 2
Markus Szymik, Mark Ullmann
Abgabe: Freitag, 29. Oktober, vor der Vorlesung
6. Abgeschlosse Mengen. Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
(1) Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
(2) Endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
(3) Die Teilmengen ∅ und X sind abgeschlossen.
Sei umgekehrt eine Menge Y gegeben mit einem System ausgezeichneter Teilmengen, das die Eigenschaften (1), (2) und (3) erfüllt. Zeigen Sie, dass {Y r A |
A ausgezeichnet} eine Topologie auf Y liefert.
7. Abschlussball. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für alle x ∈ X und ε > 0 sei
U (x, ε) die ε-Umgebung um x. Gilt immer U (x, ε) = {y ∈ X | d(x, y) ≤ ε}?
8. Eindeutigkeit des Produktes. Seien X, Y topologische Räume. Bezeichne
Mor(X, Y ) die Menge aller stetigen Abbildungen von X nach Y . Sei P ein weiterer topologischer Raum und pX : P → X und pY : P → Y stetige Abbildungen
so dass die Abbildung
Mor(T, P ) −→ Mor(T, X) × Mor(T, Y ),
f 7−→ (pX ◦ f, pY ◦ f )
für alle topologischen Räume T bijektiv ist. Zeigen Sie, dass es dann genau einen
Homöomorphismus h : X × Y → P mit pX ◦ h = prX und pY ◦ h = prY gibt.
9. Metrisierbar. Seien X, Y metrisierbare topologische Räume. Sei W ⊆ X ein
Unterraum. Zeigen Sie, dass W und X × Y metrisierbar sind.
10. Abgeschlossene Einbettungen. Eine Einbettung ist eine stetige Abbildung
f : X → Y , welche einen Homöomorphismus X ∼
= Bild(f ) induziert, wobei
Bild(f ) ⊆ Y die Teilraumtopologie bezüglich Y trägt. Zeigen oder widerlegen
Sie: Eine abgeschlossene Einbettung, also eine Einbettung die als stetige Abbildung abgeschlossen ist, ist dasselbe wie eine Einbettung, deren Bild abgeschlossen
ist.
11. Verklebung stetiger Abbildungen. Sei X ein topologischer Raum und seien
A, B ⊆ X abgeschlossene Unterräume mit A ∪ B = X. Sei Y ein weiterer
topologischer Raum. Sei f : X → Y eine Abbildung, so dass f |A und f |B stetig
sind. Zeigen Sie, dass die Abbildung f stetig ist. Gilt die Aussage auch, wenn A
oder B nicht abgeschlossen sind?