Algebraische Topologie: ¨Ubungsblatt 12

Helge Glöckner
Sven-Ake Wegner
Uni Paderborn
SS 2010
Algebraische Topologie: Übungsblatt 12
Gruppenübung
Aufgabe G 1. Es sei K der Körper der reellen (oder komplexen) Zahlen, n ∈ N und
P (Kn ) die Menge aller eindimensionalen K-Untervektorräume von Kn . Wir versehen
Kn \ {0} mit der von Kn induzierten Topologie und P (Kn ) mit der Quotiententopologie
bzgl. der surjektiven Abbildung
q : Kn \ {0} → P (Kn ) ,
x 7→ Kx .
Wir nehmen nun K = R an und betrachten die Hilfsfunktion
h : Rn \ {0} → Sn−1 ,
x 7→
x
kxk2 .
(a) Überlegen Sie sich, daß q −1 (q(A)) = h−1 (A) ∪ h−1 (−A) für jede Teilmenge A ⊆
Sn−1 gilt. Folgern Sie, daß die surjektive stetige Abbildung
q|Sn−1 : Sn−1 → P (Rn )
eine abgeschlossene Abbildung und somit eine Quotientenabbildung ist.
(b) Wir definieren x ∼ y für x, y ∈ Sn−1 , wenn x = y oder x = −y. Folgern Sie, daß
P (Rn ) homöomorph zum Quotientenraum Sn−1 /∼ ist.
(c) Es sei X ein topologischer Raum, G eine Gruppe und σ : G×X → X, (g, x) 7→ g.x
eine Gruppenwirkung derart, dass σ(g, .) : X → X ein Homöomorphismus ist für
alle g ∈ G. Wir versehen den Bahnenraum G \ X := {G.x ; x ∈ X} mit der
Quotiententopologie bzgl. q : X → G\X, x 7→ G.x. Zeigen Sie, daß q eine offene
Abbildung ist. Zeigen Sie weiter, daß G\X Hausdorffsch ist, falls G endlich und
X Hausdorffsch ist.
(d) Schließen Sie, dass
ist.
Sn−1 /
∼
(und somit auch P (Rn )) Hausdorffsch und kompakt
(e) Zeigen Sie, daß die Abbildung
φ : S1 → P (R2 ), eit 7→ Reit/2
wohldefiniert, bijektiv, stetig und ein Homöomorphismus ist.
Bemerkung: Man nennt KPn := P (Kn+1 ) den n-dimensionalen projektiven Raum über K.
Aufgabe G2. Es sei X einer der Buchstaben A, B, C, D, E, F , G, H oder I, betrachtet
als Teilmenge der Ebene, und x0 ∈ X.
(a) Berechnen Sie die Fundamentalgruppe π1 (X, x0 ) (bis auf Isomorphie).
(b) Welche der Buchstaben sind zueinander homöomorph, welche zueinander homotopieäquivalent? (Sie dürfen teils anschaulich argumentieren).
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Hausübung
Aufgabe H 1. Es seien X und Y topologische Räume, deren Topologien final sind
bezüglich den Abbildungen fi : Xi → X (i ∈ I) bzw. gj : Yj → Y (j ∈ J); hierbei
sind Xi , Yj gegebene topologische Räume. Weiter sei Op die Produkttopologie auf
X × Y und Of die finale Topologie bzgl. den Abbildungen fi × gj : Xi × Yj → X × Y ,
(x, y) 7→ (fi (x), gj (y)) (wobei Xi × Yj mit der Produkttopologie versehen ist). Zeigen
Sie:
(a) Die identische Abbildung h : (X × Y, Of ) → (X × Y, Op ) ist stetig, also Op ⊆ Of .
(b) Die identische Abbildung g : (X × Y, Op ) → (X × Y, Of ) hat die Eigenschaft, daß
g ◦ (fi × gj ) stetig ist für alle i, j.
Bemerkung: Diese Eigenschaften haben wir im Beweis von Lemma 6.17 benutzt; in diesem
Spezialfall gab es nur ein gj , nämlich gj = idY .
Aufgabe H 2. (Direkte Summen punktierter topologischer Räume) Es sei (Xi , ai )i∈I
eine Familie punktierter topologischer Räume mit I 6= ∅. Weiter sei X := ∨i∈I Xi mit
den Abbildungen θi : Xi → X und dem Basispunkt a = θi (ai ). Zeigen Sie:
(a) Ist U ⊆ Xi offen und ai 6∈ U , so ist θi (U ) offen in X.
(b) Ist U ⊆ Xi offen und ai ∈ U , so ist V := ∪j∈I\{i} θj (Xj ) ∪ θi (U ) eine offene
Teilmenge von X mit θi (U ) = θi (Xi ) ∩ V .
(c) Jedes θi ist eine topologische Einbettung.
(d) Ist jedes Xi Hausdorffsch, so ist auch X Hausdorffsch.
(e) Es sei (Y, b) ein punktierter topologischer Raum und fi : (Xi , ai ) → (Y, b) Morphismen punktierter topologischer Räume für i ∈ I (also Basispunkt–erhaltende
stetige Abbildungen). Zeigen Sie, daß es genau einen Morphismus f : (X, a) →
(Y, b) gibt derart, dass f ◦ θi = fi für alle i ∈ I.
Ausgabe dieses Aufgabenblattes am 05.07.2010.
Abgabe dieses Aufgabenblattes zu Beginn der Übung am 12.07.2010.
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