¨Ubungen zur Vorlesung Topologie Blatt 5 Aufgabe 21 (3 Punkte

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UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK
Prof. Dr. Jörg Eschmeier
Dipl.-Math. Dominik Faas
Übungen zur Vorlesung Topologie
Sommersemester 2005
Blatt 5
Abgabetermin: Montag, 23.5.2005
Aufgabe 21
(3 Punkte)
Sei τ die von den halboffenen Intervallen [a, b) (a, b ∈ R, a < b) erzeugte Topologie auf R
(vergleiche Aufgabe 17) und sei
(R2 , σ) = (R, τ ) × (R, τ )
das topologische Produkt. Zeigen Sie, dass (R2 , σ) ein separabler topologischer Raum ist,
dass aber die Menge
D = {(x, −x); x ∈ R} ⊂ R2
versehen mit der Relativtopologie σ|D nicht separabel ist.
Ein topologischer Raum (X, t) heißt metrisierbar, falls es eine Metrik d auf X gibt, so dass
t = {U ⊂ X; U offen bezüglich d} gilt.
Aufgabe 22
(3+1=4 Punkte)
(a) Sei I eine überabzählbare Indexmenge und seien (Xi , ti ) (i ∈ I) topologische Räume,
Q
so dass ti 6= {∅, X} für alle i ∈ I ist. Zeigen Sie, dass das Produkt X = i∈I Xi
versehen mit der Produkttopologie t nicht das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
(Hinweis: Wählen Sie offene Mengen Ui ( Xi und Elemente xi ∈ Ui (i ∈ I) und zeigen
Sie indirekt, dass x = (xi )i∈I keine abzählbare Umgebungsbasis hat.)
(b) Folgern Sie, dass überabzählbare Produkte metrisierbarer Räume (mit jeweils mindestens 2 Elementen) niemals metrisierbar sind.
Aufgabe 23
(4 Punkte)
Q
Seien (Xi , ti ) (i ∈ I) topologische Räume und sei X = i∈I Xi versehen mit der Produkttopologie t. Zeigen Sie, dass das Mengensystem
Y
B = { Ui ; Ui ∈ ti ∀i ∈ I}
i∈I
die Basis einer Topologie tb (die sogenannnte Box-Topologie) auf X ist.
Zeigen Sie außerdem, dass t ⊂ tb und
t = tb
gilt.
⇔
{i ∈ I; ti 6= {∅, X}} endlich
Aufgabe 24
(4 Punkte)
Für i ∈ I seien (Xi , ti ) topologische Räume und ∅ 6= Yi ⊂ Xi Teilräume versehen mit den
Q
Relativtopologien ti |Yi . Das Produkt X = i∈I Xi sei mit der Relativtopologie t der ti
Q
versehen. Zeigen Sie, dass die Relativtopologie t|Y von t auf den Teilraum Y = i∈I Yi ⊂ X
die Produkttopologie der ti |Yi ist.
Ein Filter F auf X 6= ∅ heißt Ultrafilter, falls es keinen Filter G auf X mit F ( G gibt.
Aufgabe 25∗
(2∗ +2∗ =4∗ Punkte)
Zeigen Sie für einen Filter F auf einer Menge X 6= ∅.
(a) F ist in einem Ultrafilter enthalten.
(Hinweis: Zorn’sches Lemma.)
(b) F ist genau dann ein Ultrafilter, wenn für alle A ⊂ X entweder A ∈ F oder X \ A ∈ F
gilt.