Aufgaben zur Vorlesung Topologie I

Aufgaben zur Vorlesung
Topologie I
Blatt 1
WS 2015/16
M. Joachim / S. Knopf / U. Pennig
Abgabe: Donnerstag, 29.10.2012, 12:00 Uhr
Informationen zum Übungsmodus:
• Sie dürfen Ihre Lösungen in 2er Gruppen abgeben.
• Abgabe der Übungsblätter ist immer donnerstags um 12:00 in BK 183 (Markus
Schmetkamp) bzw. BK 184 (Jannes Bantje)
• Für die Klausurzulassung hinreichend sind 40% der zu erreichenden Punkte.
Aufgabe 1. Wir erinnern an den Begriff der Gruppe:
Eine Gruppe (G, ◦) ist eine Menge G zusammen mit einer Abbildung ◦ : G × G → G, so
dass folgende Eigenschaften gelten:
a) Für alle a, b, c ∈ G gilt (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).
b) Es existiert ein e ∈ G so dass für alle a ∈ G gilt: e ◦ a = a ◦ e = a.
c) Für alle a ∈ G existiert ein Element a−1 ∈ G so dass a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e
gilt.
Zeigen Sie, dass man eine Gruppe auch als Kategorie mit einem Objekt auffassen kann.
Aufgabe 2. Sei C eine Kategorie. Zeigen Sie, dass Isomorphie eine Äquivalenzrelation auf
den Objekten von C definiert.
Anmerkung zu Aufgabe 2: Die Definition einer Äquivalenzrelation liest sich für gewöhnlich wie
folgt: Sei M eine Menge und ∼⊂ M × M eine Relation, die folgende Eigenschaften erfüllt:
reflexiv Für alle x ∈ M gilt x ∼ x.
symmetrisch Gilt x ∼ y für x, y ∈ M , so gilt auch y ∼ x.
transitiv Gilt x ∼ y, y ∼ z für x, y, z ∈ M , so gilt auch x ∼ z.
Nun bilden die Objekte einer Kategorie nicht immer eine Menge, sondern im allgemeinen nur eine
Klasse. Die obige Definition ergibt jedoch auch Sinn, wenn M eine (echte) Klasse ist. Wir können
also von Äquivalenzklassen von Elementen einer Klasse sprechen.
Aufgabe 3. Wir erinnern zunächst an den Begriff der topologischen Einbettung: Seien
X, Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt (topologische) Einbettung,
falls f : X → f (X) ein Homöomorphismus ist.
Wir definieren nun die Kategorie TOP0 wie folgt: Objekte sind topologische Räume und
für zwei topologische Räume X, Y sei homTOP0 (X, Y ) die Menge aller topologischen Einbettungen von X nach Y .
Zeigen Sie, dass TOP0 eine Unterkategorie von TOP ist. Ist diese Unterkategorie voll?
Zeigen Sie weiterhin, dass TOP und TOP0 dieselben Isomorphieklassen von Objekten
haben.
Aufgabe 4. Wir erinnern an die explizite Beschreibung der Produkttopologie: Seien
(X, τX ) und (Y, τY ) zwei topologische Räume. Dann ist eine Basis der Produkttopologie
τX×Y auf X × Y gegeben durch {U × V | U ∈ τX , V ∈ τY }.
Zeigen Sie, dass (X × Y, τX×Y ) das Produkt (im kategoriellen Sinne) von (X, τ ) und (Y, σ)
in TOP ist.