Elemente der Topologie

Übungen zur Vorlesung
Elemente der Topologie
Blatt 12
Wintersemester 11/12
M. Joachim, U. Pennig
Abgabe Donnerstag, den 26.01.2012
2 und D 2 die beiden folgenden topologischen Unterräume von R2 :
Aufgabe 45: Seien D+
2
D+
= (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1 und y ≥ 0 ,
D2 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1 .
2 q D 2 , die erzeugt wird von
Sei ∼ die Äquivalenzrelation auf D+
+
(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 )
⇔
y1 = y2 = 0 und x1 = x2 ,
2 beschreiben. Zeigen Sie, dass D 2 q D 2 / ∼
wobei (xi , yi ) einen Punkt in der i-ten Kopie von D+
+
+
2
homöomorph zu D ist.
Aufgabe 46: Seien D̄2 und S 2 die folgenden topologischen Räume:
D̄2 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1
, S 2 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1 .
Auf D̄2 definieren wir die Äquivalenzrelation ∼1 erzeugt durch
(x1 , y1 ) ∼1 (x2 , y2 )
⇔
x21 + y12 = 1 und (x1 , y1 ) = (−x2 , −y2 ) .
Auf S 2 definieren wir die Äquivalenzrelation ∼2 erzeugt von
(x1 , y1 , z1 ) ∼2 (x2 , y2 , z2 )
⇔
(x1 , y1 , z1 ) = (−x2 , −y2 , −z2 ) .
Zeigen Sie, dass die Abbildung
f : D̄2 / ∼1 → S 2 / ∼2
;
(x, y) 7→ (x, y,
p
1 − x2 − y 2 )
wohldefiniert und ein Homöomorphismus ist.
Aufgabe 47: Beschreiben die folgenden Dreiecke einen Polyeder im R3 ?
a) D1 = 4((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
b) D1 = 4((1, 1, 1), (0, 1, 0), (2, 1, 2))
D2 = 4((0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1))
D2 = 4((1, 1, 1), (2, 1, 2), (0, 0, 0))
D3 = 4((0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0))
c)
D1 = 4((0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, −1, 0))
D2 = 4((0, 0, 0), (−1, 1, 2), (−1, −1, 2))
Aufgabe 48: Berechnen Sie die Euler-Charakteristik der beiden in den Abbildungen gezeigten
Flächen, wobei die mit a bzw. b markierten Seiten entlang der gezeigten Richtung identifiziert
werden.