Präsenz¨ubungen 23.04.12

Präsenzübungen 23.04.12 - 27.04.12
Aufgabe 1:
(a) Sei X ein topologischer Raum, Y ⊆ X eine Teilmenge. Man mache sich klar, dass gilt:
• Y̊ ⊆ Y ⊆ Y
• Y = Y ∪ ∂Y und Y̊ = Y \ ∂Y
• ∂Y = ∂(Y c )
(b) Für zwei topologische Räume X, Y definere
X ∼ Y :⇔ es gibt einen Homöomorphismus X → Y
Zeige, dass ∼ die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation besitzt.
(c) Seien I, J Intervalle in R und sei f : I → J stetig und bijektiv. Zeige, dass f ein Homöomorphismus
ist.
(d) Sei f : X → Y ein Homöomorphismus von topologischen Räumen. Zeige, dass gilt:
• V offen (abgeschossen) in X ⇔ f (V ) offen (abgeschlossen) in Y .
• X ist genau dann Hausdorffsch, wenn Y Hausdorffsch ist.
˚ f (Z) = f (Z), f (∂Z) = ∂(f (Z)).
• Für alle Z ⊆ X gilt f (Z̊) = f (Z),
(e) Seien X, Y topologische Räume, wobei X diskret sei. Charakterisiere die stetigen Abbildungen
X → Y und Y → X.
Aufgabe 2:
Q
(a) Seien X1 , . . Q
. , Xn topologische Räume, X := ni=1 Xi . Für i = 1, . . . n sei Ui ⊆ Xi offen.
c
Beschreibe ( ni=1 Ui ) ⊆ X. Skizziere ein Beispiel im R2 .
(b) Zeige: Für eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen gilt
f ist stetig ⇔ Γf : X → X × Y induziert einen Homöomorphismus X → Γf (X)
(c) Sei X ein topologischer Raum. Betrachte die Diagonaleinbettung ∆X : X → X ×X, x 7→ (x, x).
Zeige: ∆X (X) ist genau dann offen in X × X, wenn X die diskrete Topologie trägt.
Aufgabe 3:
Welche der folgenden Abbildungen sind stetig/offen/abgeschlossen/Homöomorphismen?
• exp : R → R
• exp : R → (0, ∞)
• R → R2 , x 7→ (x2 , x3 )
• χQ : R → {0, 1} ⊆ R
• GLn (R) → GLn (R), A 7→ A−1
• ···