Institut für Geometrie und Topologie Universität Stuttgart Prof. W

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. W. Kühnel/ E. Keil
Universität Stuttgart
Übungsblatt 7 vom 4. Dezember 2009
Übungen zur Topologie
————————————– Wintersemester 09/10 ————————————–
Aufgabe 27:
Es sei Dn := {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} der abgeschlossene n-Ball in Rn . Dann ist
∂Dn := {x ∈ Rn : kxk = 1} der Rand von Dn in Rn .
(a) Es sei ϕ : ∂Dn → ∂Dn ein gegebener Homöomorphismus. Man konstruiere einen
Homöomorphismus Φ : Dn → Dn mit Φ|∂Dn = ϕ.
(b) Es sei (X, xo ) ein punktierter topologischer Raum und c ein geschlossen
nullhomotoper Weg in X mit c(0) = c(1) = x0 . Man zeige, dass es eine stetige
Abbildung C : D2 → X gibt, so dass c([0, 1]) = C(∂D2 ).
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass der Quotientenraum von [0, 1] × [0, 1] bezüglich
der Relation ∼, die alle Punkte in der Menge {0, 1} × [0, 1] ∪ [0, 1] × {0} identifiziert,
homöomorph zu D2 ist und die Menge ({0, 1} × [0, 1] ∪ [0, 1] × {0, 1}) /∼ dabei
bijektiv auf den Rand ∂D2 abgebildet wird.
Aufgabe 28:
Eine Menge X ⊂ Rn heißt sternförmig, wenn es einen Punkt x0 ∈ X gibt, so dass
für alle y ∈ X die Verbindungsstrecke von x0 und y, d.h. {x0 + t(y − x0 ) : t ∈ [0, 1]},
ebenfalls in X liegt.
Man zeige: Jede sternförmige (insbesondere jede konvexe) Teilmenge X ⊂ Rn mit
einem Punkt x0 wie oben, hat eine triviale Fundamentalgruppe π(X, x0 ).
Aufgabe 29: (schriftlich)
(a) Man zeige, dass jede stetige Abbildung f : X → Rn homotop ist zur konstanten
Abbildung k : X → Rn mit k(x) = 0 für alle x ∈ X.
(b) Man zeige, dass Rn+1 \{0} und die Sphäre S n := {x ∈ Rn+1 : kxk = 1}
homotopieäquivalent sind.
Aufgabe 30:
Seien (X, x0 ), (Y, y0 ) und (Z, z0 ) punktierte topologische Räume und alle folgenden
Abbildungen stetig. Zeigen Sie:
(a) Sind f, g : (X, x0 ) → (Y, y0 ) homotop, dann gilt für jedes h : (Y, y0 ) → (Z, z0 ),
dass h ◦ f ' h ◦ g.
(b) Sind g, h : (Y, y0 ) → (Z, z0 ) homotop, dann gilt für jedes f : (X, x0 ) → (Y, y0 ),
dass g ◦ f ' h ◦ f .
Aufgabe 31:
Zeigen Sie, dass die Homotopieäquivalenz von Abbildungen auf punktierten Räumen
eine Äquivalenzrelation ist.
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Zusatzaufgabe 7:
Seien X und Y topologische Räume. Mit Y X = C(X, Y ) sei die Menge der stetigen
Abbildungen von X nach Y bezeichnet, mit der Kompakt-Offen-Topologie (kurz:
KO-Topologie).
Es sei nun Z ein weiterer topologischer Raum und es sei f : Y × X → Z stetig.
(a) Zeigen Sie, dass für jedes x ∈ X die Abbildung f¯(x) : y 7→ f (y, x) stetig ist.
Das führt zu der “adjungierten Abbildung”
f¯ : X → Z Y
x 7→ f¯(x) =
y ∈ Y 7→ f (y, x) ∈ Z
oder f¯(x)(y) := f (y, x).
(b) Man zeige, dass die Abbildung f¯ stetig ist. Man erhält also eine Abbildung
α : Z Y ×X → (Z Y )X .
f
7→ f¯
(c) Beweisen Sie, dass α injektiv ist.
(d) Sei Y lokalkompakt. Zeigen Sie, dass die Evaluationsabbildung ev : Y ×Z Y → Z
stetig ist, wobei ev(y, Φ) := Φ(y). Folgern Sie daraus, dass α surjektiv ist.
Als kommutatives Diagramm haben wir das Folgende:
id×f¯
f
/
v: Z
v
v
vv
vvev
v
vv
Y
Y ×X
Y ×Z
Bemerkung: Ist zusätzlich X ein T2 -Raum (Y erfüllt ohnehin die T2 -Eigenschaft),
so kann man sogar zeigen, dass α stetig und offen, also ein Homöomorphismus ist.
Dies ist das Exponentialgesetz in der Topologie.
Man vergleiche das mit der folgenden Beziehung aus der Linearen Algebra:
Hom(X, Hom(Y, Z)) ∼
= Hom(Y ⊗ X, Z)
oder anders geschrieben: (Z Y )X ∼
= Z Y ⊗X .
Hinweise:
Als erstes mache man sich klar, was das obige Diagramm für mengentheoretische
Abbildungen bedeutet (ohne Stetigkeit).
Für Teil (b) starte man mit f¯(x) ∈ U K mit U offen in Y , K kompakt in Z.
Im Teil (d) kann man zu einer Umgebung U von Φ(y) eine Umgebung V × U V von
y × Φ finden, wobei V kompakt ist und ev(V × U V ) ⊂ U gilt.
Anmerkung: Das Intervall I = [0, 1] ist lokalkompakt und kompakt. Setzt man
X = Y = I, so gilt nach Punkt (iv) insbesondere, dass Z I×I ∼
= (Z I )I . D.h. der Raum
der Wege im Wegeraum von Z ist homöomorph zum Raum der freien Homotopien
auf Z.
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