Ubungen zu Fana1 SS16, 1. ¨Ubung

Übungen zu Fana1 SS16, 1. Übung
1. Sei X = R \ {0} versehen mit den beiden Metriken
1 1
d1 (x, y) = |x − y| und d2 (x, y) = | − |.
x y
Man geben jeweils eine Vervollständigung von (X, d1 ) und (X, d2 ) an! Weiters
betrachte man die Abbildungen f : X → X und g : X → X definiert durch
f (x) = x und g(x) = 1x .
Welche der insgesamt acht Abbildungen f : (X, di ) → (X, d j ) und g : (X, di ) →
(X, d j ) (i, j ∈ {1, 2}) ist gleichmäßig stetig und welche nicht, und welche davon
läßt sich stetig auf die jeweiligen Vervollständigungen fortsetzen?
α
auf [0, +∞) monoton
2. Zeigen Sie, dass die reellwertige Abbildung f : α 7→ 1+α
wachsend ist, wobei auch f (α + β) ≤ f (α) + f (β) für alle α, β ∈ [0, +∞).
Damit zeige man, dass für einen metrischen Raum (X, d) der Ausdruck
d̂(x, y) :=
d(x, y)
, x, y ∈ X ,
1 + d(x, y)
ebenfalls eine Metrik abgibt, wobei T (d) = T (d̂) und d̂(x, y) ∈ [0, 1).
Q
3. Seien (Xn , dn ), n ∈ N, metrische Räume und setze für f, g ∈ X = n∈N Xn
d( f, g) :=
∞ X
dn ( fn , gn ) 2−n
.
1 + dn ( fn , gn )
n=1
Man zeige, dass (X, d) ein metrischer Raum ist, wobei die von d induzierte ToQ
pologie T (d) mit der Produkttopologie n∈N T (dn ) übereinstimmt.
4. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Ist B eine Filterbasis, dh. ∅ < B , ∅ und
B1 , B2 ∈ B ⇒ ∃B3 ∈ B : B3 ⊆ B1 ∩ B2 , so heißt B gegen ein x ∈ X konvergent
(in Zeichen B → x), wenn der von B erzeugte Filter [B] = {F ⊆ X : ∃B ∈
B mit B ⊆ F} gegen x konvergiert.
Zeigen Sie, dass
(i) für eine Filterbasis B und x ∈ X gilt, dass B → x genau dann, wenn
∀U ∈ U(X)∃B ∈ B : B ⊆ U.
(ii) wenn B eine Filterbasis, x ∈ X und Y ⊆ X mit x ∈ Y und B ⊆ Y für alle
B ∈ B ist, B → x innerhalb von (X, T ) genau dann, wenn B → x innerhalb
von (Y, T |Y ).
(iii) für ein Netz (xi )i∈I die Menge B((xi )i∈I ) := {{xi : i j} : j ∈ I} eine
Filterbasis ist.
(iv) für ein Netz (xi )i∈I und x ∈ X gilt, dass xi → x, i ∈ I genau dann, wenn
B((xi )i∈I ) → x.
5. Sei R mit der Euklidischen Topologie E versehen, dh. mit der von d(x, y) =
|x − y| erzeugten Topologie. Weiters sei ∼ die Äquivalenzrelation auf R, welche
definiert ist durch x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z. Schließlich sei R/ ∼ mit der finialen
Topologie E f in bezüglich der Abbildung π : R → R/ ∼, x 7→ [x]∼ versehen.
Zeigen Sie, dass
(i) (R/ ∼, E f in ) kompakt ist.
(ii) π : R → R/ ∼ offen ist, dh. π(O) ist offen für O ∈ E. (Hinweis: Schreiben
Sie π−1 (π(O)) (⊆ R) als Vereinigung offener Mengen.)
(iii) durch φ([x]∼ ) = exp(i2πx) eine Abbildung φ : R/ ∼→ T (= {z ∈ C : |z| =
1}) wohldefiniert ist, welche ein Homöomorphismus ist.
6. In der Vorlesung wurde des öfteren verwendet, dass für einen topologischen Vektorraum (X, T ), einen topologischen Raum (Y, O), Skalaren α, β ∈ C und stetigen
Abbildungen f, g : Y → X auch die Linearkombination α f + βg : Y → X stetig
ist. Führen Sie genau aus, warum dem so ist!
7. Sei (X, k.k) ein normierter Raum und sei Y ein dichter linearer Teilraum von X.
Für r > 0 und x ∈ Y sei UrX (x) := {y ∈ X : kx − yk < r} und UrY (x) := {y ∈ Y :
kx − yk < r}. Man zeige:
X
X
X
UrX (x) = UrY (x) = {y ∈ Y : kx − yk ≤ r} = {y ∈ X : kx − yk ≤ r} =: KrX (x).
Weiters zeigen man, dass wenn k.k2 eine weiters Norm auf X ist, die Normen k.k
und k.k2 genau dann äquivalent sind, wenn
Uα(X,k.k) (0) ⊆ U1(X,k.k2 ) (0) ⊆ Uβ(X,k.k) (0)
für gewisse α, β > 0.
8. Zeigen Sie durch sorgfältige Argumentation:
(i) Ist A eine kreisförmige Teilmenge von C, so gilt A = ∅ oder A = C oder es
gibt ein r > 0, sodass A = UrC (0) oder A = KrC (0).
(ii) Mit A ist auch A◦ symmetrisch.
(iii) Die Mengen A := {(z, w) ∈ C2 : |z| ≤ |w|} ist kreisförmig, wobei A◦ nichtleer
und auch nicht kreisförmig ist.
9. Für einen topologischen Vektorraum (X, T ) sei W(0) eine Filterbasis des Umgebungsfilters U(0) und sei A ⊆ X. Man zeige, dass
\
A=
(A + W)
W∈W(0)