Riemannsche Flächen:¨Ubungsaufgaben zur Topologie

A
Fachbereich Mathematik
AG 5 Funktionalanalysis
Dr. H. Glöckner
SS 2003
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
ab 26. April 2003
Riemannsche Flächen: Übungsaufgaben zur Topologie
Hinweis: Überschüssige Aufgaben sollen in späteren Übungsstunden weiter bearbeitet werden.
Aufgabe 1 (Komposition stetiger Abbildungen).
Es seien f : X → Y und g : Y → Z stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen.
Zeige, dass die Komposition g ◦ f : X → Z, x 7→ g(f (x)) stetig ist.
Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Aufgabe 2 (Stetigkeit via abgeschlossene Mengen).
Mache Dir klar, dass eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen genau
dann stetig ist, wenn das Urbild f −1 (A) in X abgeschlossen ist, für jede abgeschlossene
Teilmenge A ⊆ Y .
Aufgabe 3 (Homöomorphismen).
Betrachte das Quadrat Q := {(x, y) ∈ [−1, 1]2 : |x| = 1 oder |y| = 1 } und die Abbildung
f : Q → S1 ,
f (x, y) := √
1
x2 +y 2
(x, y)
in den Einheitskreis. Gib Q und S1 die euklidische Metrik und zugehörige Topologie.
(a) Veranschauliche Dir die Abbildung f anhand einer Skizze.
(b) Mache Dir klar, dass f stetig ist und eine Bijektion.
(c) Mache Dir klar, dass Q und jede abgeschlossene Teilmenge von Q kompakt ist. Schließe, dass f (A) abgeschlossen in S1 ist, für jede abgeschlossene Teilmenge A ⊆ Q.
(d) Schließe, dass f ein Homöomorphismus ist.
Aufgabe 4 (Induzierte Topologie).
Ist (X, T ) ein topologischer Raum und Y ⊆ X eine Teilmenge, so nennen wir eine Teilmenge W ⊆ Y offen in Y , falls es eine offene Teilmenge U ⊆ X gibt mit W = Y ∩ U .
(a) Zeige, dass S := {W ⊆ Y : W ist offen in Y } eine Topologie auf Y ist, also Y zu
einem topologischen Raum macht. Ist X Hausdorffsch, so auch Y .
[Bem. Man nennt S die “induzierte Topologie” oder Spurtopologie ].
(b) Kannst Du die abgeschlossenen Teilmengen von Y (bzgl. S) beschreiben ?
(c) Zeige: ist Z ein topologischer Raum und f : X → Z stetig, so ist die Einschränkung
f |Y stetig auf (Y, S). Insbesondere ist die Inklusion idX |Y : Y → X stetig.
(d) Zeige: Eine Abbildung g : Z → X mit Bild in Y ist stetig genau dann, wenn ihre
Ko-Einschränkung g|Y : Z → Y , z 7→ g(z) stetig ist bzgl. der Spurtopologie auf Y .
Aufgabe 5 (Quotienten-Topologie).
Es sei (X, T ) ein topologischer Raum und q : X → Q eine surjektive Abbildung.
(a) Zeige, dass Q := {U ⊆ Q : q −1 (U ) ∈ T } eine Topologie auf Q ist.
[Diese Topologie nennt man die Quotiententopologie auf Q, und man nennt q : (X, T ) → (Q, Q) eine
Quotientenabbildung oder identifizierende Abbildung ].1
(b) Zeige, dass q als Abbildung (X, T ) → (Q, Q) stetig ist.
(c) Zeige, dass eine Abbildung f : Q → Z in einen topologischen Raum Z genau dann
bzgl. der Quotiententopologie stetig ist, wenn f ◦ q : X → Z stetig ist.
(d) Zeige, dass eine stetige Surjektion p : R → S zwischen topologischen Räumen eine
Quotientenabbildung ist (also die Topologie auf S die Quotiententopologie ist), falls
p eine offene Abbildung ist (d.h. p(U ) ist offen in S für jede offene Teilmenge U ⊆ R).
(e) Beispiel: Zeige, dass die Abbildung q : R → S1 ⊆ C, q(t) := eit offen und daher
eine Quotientenabbildung ist. Also ist eine Funktion f : S1 → Z auf dem Kreis stetig
genau dann, wenn R → Z, t 7→ f (eit ) stetig ist.
In der folgenden Aufgabe wird ein Beispiel eines topologischen Raumes gegeben, welcher lokal wie R
ausieht, aber dennoch nicht Hausdorffsch ist (und somit keine topologische Mannigfaltigkeit).
Aufgabe 6∗ (Nicht-Hausdorffscher Raum).
Es sei X die Teilmenge R × {0, 1} von R2 , versehen mit der euklidischen Metrik und
zugehörigen Topologie. Wir nennen (x, i), (y, j) ∈ X äquivalent, (x, i) ∼ (y, j), falls (x, i) =
(y, j) oder x = y < 0. Dies liefert eine Äquivalenzrelation auf X. Es sei Q := X/ ∼
die Menge der Äquivalenzklassen [(x, i)]. Wir versehen Q mit der Quotiententopologie
bezüglich der Abbildung q : X → Q, (x, i) 7→ [(x, i)].
(a) Skizziere X als Teilmenge der Ebene und mache Dir klar, welche Punkte von q
identifiziert werden (also auf den gleichen Punkt abgebildet).
(b) Zeige, dass die Punkte [(0, 0)] und [(0, 1)] keine disjunkten Umgebungen in Q besitzen.
[Hinweis: gib Umgebungen vor und zeige (Skizze!), dass sich deren Urbilder überlappen müssen ].
(c) Überlege Dir, wie q −1 (q(U )) für eine offene Teilmenge U ⊆ X aussieht, bzw. überlege
dies für “kleine” euklidische Kugeln U . Zeige, dass q −1 (q(U )) in X und somit q(U )
in Q offen ist. Also ist q eine offene Abbildung.
q(U )
(d) Zeige, dass q|U für genügend kleine Kugeln U um einen gegebenen Punkt (x, i) ∈ X
injektiv ist und daher ein Homöomorphismus (wegen Teil (c)).
Aufgabe 7 (Klebe-Lemma). Es sei X ein topologischer Raum und A1 , A2 ⊆ X seien
abgeschlossene Teilmengen, welche X überdecken, also X = A1 ∪ A2 .
(a) Zeige, dass eine Abbildung f : X → Z in einen topologischen Raum Z genau dann
stetig ist, wenn f |A1 und f |A2 (bzgl. der Spurtopologie) stetig sind. [Hinweis: Aufgabe 2 ].
(b) Beispiel: Es seien γ : [0, 1] → Z und η : [0, 1] → Z stetige Funktionen (“Kurven”) in
einen topologischen Raum Z derart, dass der Endpunkt γ(1) mit dem Anfangspunkt
η(0) zusammenfällt. Mache Dir an einer Skizze klar, wie die Funktion
γ(2t)
für t ∈ [0, 21 ];
γ · η : [0, 1] → Z, (γ · η)(t) :=
η(2t − 1) für t ∈ [ 12 , 1]
aussieht. Mache Dir klar, dass γ · η stetig ist, also eine Kurve von γ(0) nach η(1).
1
Viele Leute nennen q fälschlich eine “Projektion.” Das sollte man nicht tun.