¨Ubungen zur Analysis II Blatt 19

Prof. Dr. Torsten Wedhorn
Daniel Wortmann
SoSe 2012
Übungen zur Analysis II
Blatt 19
Abgabe: Mo, 30.04.12 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in den Briefkasten 109 vor D1.320
Bei jeder Aufgabe kann man 12 Punkte erreichen.
*-Aufgaben sind Zusatzaufgaben und bringen Bonuspunkte.
http://www2.math.uni-paderborn.de/people/torsten-wedhorn/teaching-and-talks/analysis-ii.html
Aufgabe 73: (6+6 Punkte)
Sei (V, k · k) ein normierter K-Vektorraum, seien x ∈ V und r ∈ R>0 . Zeige, dass gilt:
(a) Br (x) = {v ∈ V | kx − vk ≤ r} und ∂Br (x) = {v ∈ V | kx − vk = r}
(b) V ist homöomorph zu Br (x) (wobei Br (x) die induzierte Topologie trägt).
Hinweis: Man kann z.B. zunächst zeigen, dass die Zuordnung v 7→
V ' B1 (0) induziert.
1
v
1+kvk
einen Homöomorphismus
Aufgabe 74: (3+3+3+3 Punkte)
Defnition: Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt offen (bzw. abgeschlossen), falls für jede offene (bzw. abgeschlossene) Teilmenge V ⊆ X die Bildmenge f (V ) ⊆ Y offen
(bzw. abgeschlossen) ist.
Q
Seien X1 , . . . Xn topologische Räume, X = ni=1 Xi versehen mit der Produkttopologie.
(a) Zeige, dass für eine Teilmenge U ⊆ X äquivalent sind:
(i) U ist S
offen in
QX.
(ii) U = j∈J ( ni=1 Uij ), wobei J eine Menge und Uij ⊆ Xi offen für alle j ∈ J, i = 1, . . . n.
(b) Zeige, dass die Projektion pri : X → Xi für alle i = 1, . . . n eine offene Abbildung ist.
(c) Prüfe, ob die Projektionen pri abgeschlossene Abbildungen sind.
(d) Finde ein Beispiel für eine stetige Abbildung f : X → Y von topologischen Räumen, die weder
offen noch abgeschlossen ist.
Aufgabe 75: (6+6 Punkte)
Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen.
(a) Zeige, dass f genau dann stetig ist, wenn f (A) ⊆ f (A) für alle Teilmengen A ⊆ X.
(b) Sei f stetig. Zeige, dass dann f −1 (B) ⊆ f −1 (B) für alle Teilmengen B ⊆ Y , und dass Gleichheit
gilt, falls f außerdem eine offene Abbildung ist (vgl. Aufgabe 74).
Aufgabe 76: (6+6 Punkte)
Sei X ein topologischer Raum, sei (Ui )i∈I eine Familie von offenen Teilmengen Ui ⊆ X , so dass
S
i∈I Ui = X, eine solche Familie heißt offene Überdeckung von X.
(a) Sei A ⊆ X eine Teilmenge. Zeige: A ist genau dann abgeschlossen in X, wenn für alle i ∈ I
A ∩ Ui ⊆ Ui abgeschlossen ist.
(b) Sei Y ein weiterer topologischer Raum, f : X → Y eine Abbildung. Zeige, dass f genau dann
stetig ist, wenn f |Ui : Ui → Y für alle i ∈ I stetig ist.
Bonusaufgabe: (3+9 *-Punkte)
Seien a, b ∈ R mit a < b. Betrachte den Vektorraum V := C([a, b], R) der stetigen, R-wertigen
Funktionen auf [a, b]. Aus Bem. (13.27) folgt, dass V ein Banachraum bezüglich der k · k[a,b] -Norm
ist.
(a) Zeige, dass die Abbildung
≥0
Z
b
|f (x)| dx
k · k1 : V → R , f 7→
a
eine Norm auf V ist, die sogenannte L1 -Norm (vgl. Aufgabe 63).
(b) Zeige, dass V bezüglich k · k1 nicht vollständig ist.