¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Geometrie und Topologie

Sommersemester 2014
Blatt 3
Prof. Stefan Schwede
Dr. Wolfgang Steimle
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die Geometrie und Topologie
Abgabe: 06.05.14 in der Vorlesungspause
Aufgabe 3.1: Sei X ein topologischer Raum und x1 , x2 , . . . eine Folge von Punkten in X.
Ein Punkt x ∈ X heißt Häufungspunkt der Folge, falls jede Umgebung von x unendlich viele
Folgenglieder enthält. Der Raum X heißt folgen-kompakt, wenn jede Folge von Punkten
in X einen Häufungspunkt besitzt. Ein topologischer Raum heißt quasi-kompakt (siehe
Vorlesung), wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Zeige, dass jeder quasi-kompakte Raum auch folgen-kompakt ist.
(Bemerkung: für Unterräume des Rn sind die Begriffe ‘quasi-kompakt’ und ‘folgenkompakt’ äquivalent. Für allgemeine Räume gilt jedoch die Umkehrung der zu zeigenden
Behauptung nicht. Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, muß man sich aber schon etwas
anstrengen. Ein Gegenbeispiel findet sich als Nr. 42 in Steen&Seebach ‘Counterexamples
in Topology’. Das Gegenbeispiel benutzt etwas Mengentheorie, genauer die Theorie der
Ordinalzahlen.)
Aufgabe 3.2: Zeige, dass ein topologischer Raum X genau dann die Hausdorff-Eigenschaft
hat, wenn die Diagonale
∆(X) = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X}
abgeschlossen in der Produkttopologie von X × X ist.
Aufgabe 3.3:
Für n ≥ 0 bezeichne S n die n-dimensionale Sphäre definiert als
S n = {(x0 , . . . , xn ) ∈ Rn+1 | x20 + . . . x2n = 1}.
Wir betrachten die Äquivalenzrelation ∼‘ auf S n , die jeden Punkt x ∈ Rn+1 mit seinem
’
Antipodenpunkt −x identifiziert. Zeige:
1. Der Quotientenraum S n / ∼ ist homöomorph zur projektiven Ebene RP n (vgl. Aufgabe 2.4).
(Hinweis: Zeige, dass die Inklusion S n → Rn+1 − {0} eine topologische Äquivalenz
auf den Quotientenräumen induziert.)
2. RP n ist Hausdorff.
3. Es gilt RP 2 = A∪B mit A, B ⊂ RP 2 abgeschlossen, wobei A homöomorph zu D2 , B
homömorph zum Möbiusband M , und A ∩ B homömorph zu S 1 . (Hinweis: Verwende
Aufgabe 2.3.)
Aufgabe 3.4: In dieser Aufgabe zeigen wir, dass RP 3 homöomorph zu SO(3) ist. (Erinnerung: SO(3) ist die Menge aller linearen Endomorphismen A von R3 mit hx, yi =
hAx, Ayi und Determinante 1. Wenn wir eine solche lineare Abbildung mit ihrer Matrix
identifizieren, ist dies die Menge der 3 × 3-Matrizen A mit At A = AAt = E (Einheitsmatrix) und det(A) = 1. Wir betrachten SO(3) als topologischen Raum mit der Unterraumtopologie bezüglich SO(3) ⊂ M3×3 (R) ∼
= R9 .)
Definiere eine Abbildung p : D3 → SO(3) wie folgt: Falls x 6= 0, so ist p(x) ist die
Rotation um x um den Winkel π · kxk. Falls x = 0, so ist p(x) = E. Wir setzen voraus,
dass diese Abbildung stetig ist. (Dies folgt aus dem Gram-Schmidt-Verfahren.) Zeige:
1. p ist surjektiv. (Hinweis: Zeige zuerst, dass jedes Element von SO(3) einen Eigenvektor mit Eigenwert 1 besitzt.)
2. p ist eine Quotientenabbildung.
3. p(x) = p(y) genau dann wenn kxk = kyk = 1 und x = −y.
Definiere nun eine stetige Abbildung q : Dn → RP n als Komposition der Abbildung
p
Dn → S n ⊂ Rn × R, x 7→ (x, 1 − kxk2 )
(Inklusion der Nordhalbkugel) und der Projektionsabbildung S n → S n /∼ ∼
= RP n von
Aufgabe 3.3. Zeige:
4. q ist eine Quotientenabbildung.
5. q(x) = q(y) genau dann wenn kxk = kyk = 1 und x = −y.
6. Es gibt einen eindeutigen Homömorphismus f : RP 3 → SO(3) mit f ◦ q = p .