¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Geometrie und Topologie

Sommersemester 2014
Blatt 7
Prof. Stefan Schwede
Dr. Wolfgang Steimle
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die Geometrie und Topologie
Abgabe: 17.06.14 in der Vorlesungspause
Aufgabe 7.1: Sei X ein zusammenhängender und lokal wegzusammenhängender Raum
mit endlicher Fundamentalgruppe. Zeige, dass jede stetige Abbildung X → S 1 homotop
zu einer konstanten Abbildung ist. (Hinweis: verwende die Überlagerung exp: R → S 1 .)
Aufgabe 7.2: Sei f : X → X eine stetige Selbst-Abbildung eines topologischen Raumes X. Auf dem Produkt X × [0, 1] von X mit dem Einheitsintervall betrachten wir die
Äquivalenzrelation ∼, die von der Vorschrift (x, 1) ∼ (f (x), 0) erzeugt wird. Der Abbildungstorus von f ist der Quotientenraum
Tf = X × [0, 1]/ ∼ .
Es wird also die ‘Endkopie’ X × {1} vermöge f mit der ‘Anfangskopie’ X × {0} von X
identifiziert.
Sei jetzt f ein Homöomorphismus. Definiere eine stetige und eigentlich diskontinuierliche Wirkung der Gruppe Z auf dem Raum X × R derart, dass der Quotientenraum
(X × R)/Z (im Sinne der Aufgabe 6.4) homöomorph zum Abbildungstorus Tf ist. Nach
Aufgabe 6.4 erhalten wir so eine Überlagerung
X × R → Tf .
Aufgabe 7.3: Die Klein’sche Flasche K ist der Quotientenraum des Quadrates [0, 1] ×
[0, 1], bei dem man jeden Punkt der Form (x, 0) mit dem Punkt (x, 1) identifiziert und
außerdem jeden Punkt der Form (0, y) mit dem Punkt (1, 1 − y) (für alle x, y ∈ [0, 1]).
(a) Zeige, dass Z × Z unter der Verknüpfung (n, m) · (n0 , m0 ) := (n + (−1)m n0 , m + m0 )
eine Gruppe ist, die nicht abelsch ist. Sie wird üblicherweise mit Z o Z notiert.
(b) Zeige, dass
(x, y) · (n, m) := ((−1)m (x + n), y + m)
(x, y) ∈ R2 , (n, m) ∈ Z o Z
eine stetige und eigentlich diskontinuierliche Gruppenwirkung von Z o Z auf R2 definiert.
(c) Zeige, dass der Quotientenraum von R2 nach dieser Gruppenwirkung homöomorph zur
Klein’schen Flasche ist. Es folgt mit Aufgabe 6.4, dass die Quotientenraumprojektion
R2
−−→
R2 /∼ ∼
=K
eine Überlagerung mit unendlich vielen Blättern ist.
(d) Welcher Zusammenhang besteht mit Aufgabe 7.2?
Aufgabe 7.4: Sei X ein wegzusammenhängender Raum, f : X → X ein Homöomorphismus und Tf der Abbildungstorus von f (vgl. Aufgabe 7.2). Betrachte die Abbildungen
i : X → Tf ,
1
q : Tf → S ,
x 7→ [(x, 0)],
[(x, t)] 7→ exp(t).
Zeige: Für alle x ∈ X existiert eine “kurze spaltende exakte Sequenz von Gruppen”
i
q∗
∗
1 → π1 (X, x) −
→
π1 (Tf , i(x)) −→ π1 (S 1 , 1) → 1.
Zeige im Einzelnen:
(a) i ist stetig, und für alle x ∈ X ist die Abbildung i∗ : π1 (X, x) → π1 (Tf , i(x)) injektiv.
(Hinweis: Verwende Aufgabe 7.2 und den Homotopie-Liftungs-Satz.)
(b) q ist stetig, und für alle y ∈ Tf ist die Abbildung q∗ : π1 (Tf , y) → π1 (S 1 , g(y)) splitsurjektiv (d.h., es existiert ein Gruppenhomomorphismus s : π1 (S 1 , g(y)) → π1 (Tf , y)
mit q∗ ◦ s = idπ1 (S 1 ,g(y)) ).
(c) Kern(q∗ ) = Bild(i∗ ), insbesondere gilt π1 (Tf , i(x))/π1 (X, x) ∼
= Z. (Hinweis für “⊆”:
Verwende den Wege-Liftungs-Satz, um eine Schleife γ in Tf zu einem Weg in X × R
zu liften und zeige, dass dieser Weg wieder eine Schleife ist, falls [γ] ∈ Kern(q∗ ).)