1. ¨Ubung zur Algebraischen Topologie

1. Übung zur Algebraischen Topologie
Dr. D. Robertz
(WS 2012/13)
Aufgabe 1. (Produkttopologie)
Man zeige für m, n ∈ N, dass Rm × Rn und Rm+n homöomorph sind, dass also
Rm × Rn ∼
= Rm+n gilt.
Aufgabe 2. (Homöomorphie)
Es sei n ∈ N. Für eine Teilmenge Y eines topologischen Raums sei int Y die Menge
der inneren Punkte von Y .
a) Man zeige, dass int Dn und Rn homöomorph sind.
b) Es sei X ⊂ Rn kompakt, konvex (d. h., mit je zwei Punkten ist ihre Verbindungsstrecke in X enthalten) und mit int X 6= ∅. Man zeige, dass es einen
Homöomorphismus f : X → Dn gibt, der den Rand von X auf den Rand von
Dn abbildet.
Aufgabe 3. (Homöomorphie)
Für einen topologischen Raum X sei π0 (X) die Menge seiner Zusammenhangskomponenten. Für x ∈ X definieren wir Z(x) als die Kardinalität von π0 (X − {x}).
a) Mit Hilfe von Z entwickle man ein notwendiges Kriterium für Homöomorphie
von zwei topologischen Räumen.
b) Für den Einheitskreis S 1 in R2 und das Einheitsintervall I := [0, 1] ⊂ R zeige
man: S 1 ∼
6 I.
=
c) Man klassifiziere die folgenden 26 zusammenhängenden (topologischen) Teilräume von R2 nach Homöomorphie:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
Aufgabe 4. (Einhängung)
Es sei X ein topologischer Raum. Für einen abgeschlossenen Teilraum A von X
wird die Äquivalenzrelation ∼A auf X definiert durch
x ∼A y
:⇐⇒
x=y
oder
(x ∈ A und y ∈ A).
Wir definieren den Quotientenraum X/A := X/∼A .
Der topologische Raum X × I heißt Zylinder über X, wobei I := [0, 1] ⊂ R, und
CX := (X × I)/(X × {1}) heißt der Kegel über X. Der Raum X wird als Projektion
von X × {0} in CX eingebettet. Schließlich heißt EX := CX/X die Einhängung
von X.
a) Man gebe einen Homöomorphismus CS n → Dn+1 an.
b) Man zeige: Jede stetige Abbildung f : X → Y induziert stetige Abbildungen
Cf : CX → CY und Ef : EX → EY .
c) Man zeige: EDn ∼
= S n+1 .
= Dn+1 und ES n ∼
Abgabe: Dienstag, 16.10.2012, in der Übung.