Algebraische Topologie Blatt 11

Prof. Dr. B. Hanke
Algebraische Topologie
Blatt 11
Übung 1. Es seien N und M Mannigfaltigkeiten. Man zeige, dass M × N eine Mannigfaltigkeit der Dimension
dim M + dim N ist und dass M × N genau dann orientierbar ist, falls M und N orientierbar sind.
Übung 2. Es sei M eine zusammenhängende und kompakte n-Mannigfaltigkeit. Wir nehmen zusätzlich an, dass
M trianguliert (d.h. homöomorph zu einem geordneten geometrischen Simplizialkomplex) ist (diese Annahme
ist oft erfüllt). Man zeige:
i. M besitzt keine i-Simplizes, falls i > n.
ii. Jedes (n − 1)-dimensionale Simplex in M ist Seite von genau zwei n-dimensionalen Simplizes in M .
P
iii. Jede simpliziale geschlossene (und ganzzahlige) n-Kette in M ist von der Form σ∈Sn λσ · σ (λσ ∈ Z und
Sn = Menge der n-Simplizes in M ), wobei |λσ | = |λσ0 | für alle σ, σ 0 ∈ Sn .
iv. M ist genau dann orientierbar, falls es eine von 0 verschiedene geschlossene simpliziale n-Kette in M
gibt. Falls es so eine Kette gibt, können in dieser Kette die Koeffizienten der n-Simplizes alle ±1 gewählt
werden.
Übung 3. Es seien M und N orientierte, kompakte und zusammenhängende n-Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalklassen [M ] ∈ Hn (M ; Z) und [N ] ∈ Hn (N ; Z). Es sei f : M → N eine stetige Abbildung und es sei
B ⊂ N eine offene Kugel, so dass f −1 (B) ⊂ M eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen Ui ⊂ M , i ∈ I,
ist, die jeweils durch f homöomorph auf B abgebildet werden. Man zeige, dass I endlich ist und dass
X
deg f =
i ,
I
wobei i = ±1, je nachdem, ob f |Ui die von [M ] und [N ] induzierten lokalen Orientierungen erhält oder nicht.
Dabei ist der Abbildungsgrad deg f definiert als die eindeutig bestimmte ganze Zahl mit f∗ ([M ]) = deg f · [N ].
7. Januar
Abgabe spätestens Mittwoch, den 24. Dezember, um 10 Uhr im Übungskasten im Erdgeschoss.