Quantenmechanik I Serie 7.

Quantenmechanik I
Serie 7.
http://www.physik.uzh.ch/de/lehre/PHY331/HS2016.html
Übung 1.
HS 2016
Prof. Thomas Gehrmann
Ausgabe: 01. November 2016
[Erwartungswerte der Operatoren des harmonischen Oszillators]
Gegeben sei der Hamilton-Operator
H=
p̂2
1
+ mω 2 x̂2
2m 2
(1)
eines eindimensionalen harmonischen Oszillators. Gib die Erwartungswerte der kinetischen und
potentiellen Energie von H bezüglich beliebiger Energieeigenfunktionen an.
Übung 2.
[Eigenschaften des Bahndrehimpulsoperators]
~ = ~x × p~ mit dem Ortsoperator ~x = (x, y, z).
Gegeben sei der Bahndrehimpulsoperator L
a) Zeige, dass der Bahndrehimpulsoperator hermitesch ist.
b) Berechne mit Hilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen zwischen Ort und Impuls
die folgenden Kommutatoren:
i) [Li , Lj ] ,
~ 2 , Li ] ,
ii) [L
iii) [Li , xj ] ,
iv) [Li , ~x 2 ] ,
v) [Li , pj ] ,
vi) [Li , p~ 2 ] ,
c) Zeige, dass die Relation
~ 2 , [L~2 , ~x]] = 2~2 L
~ 2 xj + xj L
~2
[L
(2)
erfüllt ist.
Übung 3.
[Darstellung der SO(3)]
a) Zeige, dass die 3 × 3 Matrizen Mj (j = 1, 2, 3), die durch
(Mj )kl = −i jkl ,
(j, k, l = 1, 2, 3) ,
(3)
definiert sind, den SO(3)-Vertauschungsregeln
[Mj , Mk ] = i jkl Ml
(4)
genügen.
b) Berechne den Casimir-Operator M 2 =
die Mj demzufolge?
P
j
1
Mj2 . Welche Drehimpulsquantenzahl l haben
c) Welche Eigenwerte m sollte M3 nach b) besitzen? Diagonalisiere M3 und bestimme die
Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren.
Die Eigenvektoren von M3 sind jeweils nur bis auf einen Phasenfaktor bestimmt. Ihre relativen
Phasen lassen sich wie folgt festlegen:
d) Bestimme die Matrizen M± = M1 ± i M2 und damit den Vektor ~a1 , für den gilt:
M+~a1 = 0 .
(5)
Zeige, dass ~a1 Eigenvektor zu M3 mit Eigenwert m = 1 ist.
e) Bestimme nun die beiden anderen Eigenvektoren ~a0 und ~a−1 von M3 (zu den Eigenwerten
m = 0 und m = −1) durch Anwendung von M− . Damit sind die relativen Phasen der
~am festgelegt. Die verbleibende unbestimmte Phase kann man so festlegen, dass ~a0 nur
positive, reelle Komponenten besitzt. Gib mit dieser Konvention die ~am an.
Übung 4.
[Erwartungswerte der Drehimpulsoperatoren]
2
Ein System befinde sich im
ψ = Φ
lm , ein
Zustand
Eigenzustand der Drehimpulsoperatoren M
2
2
und Mz . Berechne hMx i, Mx , hMy i und My .
2