— Blatt 7 —
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Übungen zur Topologie I
— Blatt 7 —
Prof. Dr. Bernhard Hanke
26. November 2007
Übung 1. Es sei f : S n → S n eine stetige Abbildung. Man zeige, dass der Abbildungsgrad von f mit dem Abbildungsgrad der Einhängung von f , Σf : ΣS n → ΣS n
übereinstimmt.
Übung 2. Es sei f ∈ C[X] ein Polynom mit komplexen Koeffizienten. Man zeige, dass
die durch f gegebene Abbildung C → C immer zu einer stetigen Abbildung f + : C+ →
C + von Einpunktkompaktifizierungen fortgesetzt werden kann (falls f nicht konstant
ist, müssen Sie dazu nachweisen, dass f eigentlich ist - siehe Skript zur Einführung
in die Topologie, Kapitel 6). Wir können C+ mit S 2 identifizieren. Man zeige, dass
(nach dieser Identifizierung) deg f + = deg f , wobei auf der rechten Seite der Grad des
Polynoms f steht. Man folgere den Fundamentalsatz der Algebra.
Übung 3. Man berechne die Homologie des Raumes
X = (S 1 × S 1 ) ∪φ M
wobei M = [−1, 1]×[−1, 1]/ ∼ das Möbiusband ist (d.h. ∼ identifiziert die Punkte (−1, t)
und (1, −t) und φ : ∂M → S 1 ×S 1 den Rand des Möbiusbandes (d.h. [−1, 1]×{−1, 1}/ ∼,
dieser ist homöomorph zu S 1 ) mit S 1 × {1} ⊂ S 1 × S 1 identifiziert.
Übung 4. In dieser Übung leiten wir die Mayer-Vietoris-Sequenz aus den EilenbergSteenrod-Axiomen her. Es seien X ein topologischer Raum und A, B ⊂ X Teilräume
mit X = int(A) ∪ int(B). Man betrachte das kommutative Diagramm
. . . −−−−→ Hn (A ∩ B) −−−−→ Hn (A) −−−−→ Hn (A, A ∩ B) −−−−→ Hn−1 (A ∩ B) −−−−→
∼
=y
y
y
y
y
. . . −−−−→
Hn (B)
−−−−→ Hn (X) −−−−→
Hn (X, B)
−−−−→
Hn−1 (B)
−−−−→ . . .
wobei die Zeilen lange exakte Sequenzen für Raumpaare sind und die senkrechten Abbildungen durch offensichtliche Inklusionen induziert sind. Der Isomorphismus tritt nach
dem Ausschneidungssatz auf. Es sei die Abbildung ∆ : Hn (X) → Hn−1 (A ∩ B) definiert
als die Komposition Hn (X) → Hn (X, B) ∼
= Hn (A, A ∩ B) → Hn−1 (A ∩ B), wobei die
erste Abbildung von der Inklusion herkommt, der Isomorphismus durch Ausschneidung
erhalten wird und die letzte Abbildung der verbindende Homomorphismus in der langen
exakten Sequenz des Raumpaares (A, A∩B) ist. Man zeige alleine durch Jagd im obigen
Diagramm, dass die Sequenz
∆
. . . → Hn (A ∩ B) → Hn (A) ⊕ Hn (B) → Hn (X) → Hn−1 (A ∩ B) → . . .
exakt ist, wobei die ersten beiden Abbildungen wie in der Vorlesung definiert sind.
Abgabe bis zum Montag 3. Dezember 22 Uhr im passenden Übungskasten
...
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