Algebraische Topologie Blatt 9 - math.uni

Prof. Dr. B. Hanke
Algebraische Topologie
Blatt 9
Übung 1. Es sei X ein CW-Komplex und es seien A, B ⊂ X Unterkomplexe. Man leite direkt aus der zellulären
Homologie die Existenz einer langen exakten Mayer-Vietoris-Sequenz
. . . → Hn (A ∩ B) → Hn (A) ⊕ Hn (B) → Hn (A ∪ B) → Hn−1 (A ∩ B) → . . .
her. Dabei sind die ersten beiden Abbildungen wie in der Mayer-Vietoris-Sequenz aus der Vorlesung definiert.
(Mit dieser Herleitung erspart man sich die Diskussion von Proposition 4.11 aus dem Skript).
Übung 2. Man zeige, dass jede gerade Abbildung S n → S n (d.h. f (−x) = x für alle x) geraden Grad
hat. Anleitung: Man faktorisiere f als eine Komposition S n → RP n → S n . Falls n gerade ist, folgt mit der
Berechnung von H∗ (RP n ; Z) aus der Vorlesung, dass deg f = 0. Falls n ungerade ist, zeige man, dass die von
der Quotientabbildung S n → RP n induzierte Abbildung Hn (S n ; Z) → Hn (RP n ; Z) einen Erzeuger auf das
Zweifache eines Erzeugers abbildet. Hierzu zeige man zunächst, dass die Abbildung RP n → RP n /RP n−1 einen
Isomorphismus auf Hn (−; Z) induziert, und studiere dann den Abbildungsgrad der Abbildung S n → RP n →
RP n /RP n−1 ≈ S n .
Übung 3. Es sei F1 , . . . , Fn+1 eine Überdeckung von S n durch n + 1 abgeschlossene Mengen. Man zeige, dass
mindestens eine der Mengen Fi ein Paar antipodaler Punkte ±x enthält. Anleitung: Studieren Sie die Abbildung
S n → Rn , x 7→ (d(x, F1 ), . . . , d(x, Fn )). Dabei bezeichnet d die Einschränkung der Abstandsfunktion auf Rn+1 .
Gilt die Aussage auch noch für Überdeckungen durch n + 2 abgeschlossene Mengen?
Übung 4. Man zeige detailliert, dass der Raum
{(x, y) ∈ R2 | xy = 0} ,
versehen mit der Unterraumtopologie von R2 , keine Mannigfaltigkeit ist.
Abgabe spätestens Mittwoch, den 10. Dezember, um 10 Uhr im Übungskasten im Erdgeschoss.