Analysis II - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
PD Dr. H. Winkler
H. Gernandt
Analysis II
1. Übungsserie zur Abgabe am 13.04.2017
Themen: Topologie, Kompaktheit, Stetigkeit
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Ablauf : Die Übung findet wöchentlich Donnerstag um 7 Uhr im Curie Hörsaal statt. Ein
Übungsblatt enthält in der Regel vier Hausaufgaben, die mit ∗ markiert sind. Eine Abgabe in Zweiergruppen ist erwünscht. Die restlichen Aufgaben sind so vorzubereiten, dass
sie in der Übung an der Tafel vorgestellt werden können.
Schein: Zum Erhalt des Scheins Analysis II“ als eine Prüfungsvorleistung für die Prüfung
”
Analysis I/II“ werden folgende Anforderungen gestellt:
”
(i) Es müssen mindestens 50% der maximal vergebenen Hausaufgabenpunkte erreicht
werden.
(ii) Es müssen mindestens zwei Aufgaben in der Übung an der Tafel vorgerechnet werden.
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Aufgabe 1* (Produktraum; 4 Punkte)
Seien (M1 , d1 ) und (M2 , d2 ) metrische Räume, dann definieren wir auf dem Produktraum
M1 × M2 die Abbildung
(
)
d (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) := max(d1 (x1 , x2 ), d2 (y1 , y2 )).
(1)
Zeige, dass (1) eine Metrik auf M1 × M2 definiert. Skizziere für M1 = M2 = R mit
d1 (x, y) = d2 (x, y) = |x − y| die Umgebung U1 (0, 0) im Produktraum M1 × M2 .
Aufgabe 2* (7 Punkte)
Sei A eine Teilmenge des metrischen Raumes (M, d), dann zeige:
◦
(a) A ist offen,
(b) ∂A ist abgeschlossen,
(c) A ist abgeschlossen,
◦
(d) A ist offen ⇐⇒ A = A ⇐⇒ ∂A ∩ A = ∅,
(e) A ist abgeschlossen ⇐⇒ A = A ⇐⇒ ∂A ⊆ A.
Beweise, dass A genau dann abgeschlossen ist, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält.
1
Aufgabe 3* (3 + 1 Punkte)
Beweise die folgenden Eigenschaften kompakter Mengen.
(a) Es seien K und L kompakte Teilmenge von Rn . Zeige, dass auch die MinkowskiSumme K + L := {x + y | x ∈ K und y ∈ L} kompakt ist.
(b) Zeige, dass die Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen wieder kompakt ist.
Aufgabe 4 (Stetigkeit der Metrik)
Sei (M, d) ein metrischer Raum. Zeige, dass die Abbildung
d(·, y) : M → [0, ∞),
x 7→ d(x, y)
stetig ist. Für eine nichtleere Teilmenge A von M , beweise man die Stetigkeit von
d(·, A) : M → [0, ∞), x 7→ d(x, A) := inf d(x, a).
a∈A
Zeige die Stetigkeit von d : M × M → [0, ∞), wenn M × M mit der Produktmetrik aus
Aufgabe 1 versehen wird.
Aufgabe 5* (Ur-/Bilder stetiger Funktionen; 3 +3 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (Gegenbeispiel oder Beweis)
Jede stetige Abbildung f : M1 → M2 zwischen metrischen Räumen M1 , M2 bildet...
”
(a) ... jede offene Menge auf eine offene Menge ab.”
(b) ... jede abgeschlossene Mengen auf eine abgeschlossene Mengen ab.”
(c) ... jede kompakte Mengen auf eine kompakte Mengen ab.”
Sei nun f : M → R eine stetige Funktion. Untersuche für c ∈ R die folgenden Mengen
auf Offenheit und Abgeschlossenheit:
U := {x ∈ M | f (x) < c},
A := {x ∈ M | f (x) ≤ c},
2
B := {x ∈ M | f (x) = c}.