Algebraische Topologie Blatt 13

Prof. Dr. B. Hanke
Algebraische Topologie
Blatt 13
Übung 1. Es sei (X, A) ein Raumpaar, G eine abelsche Gruppe und δ : H n (A; G) → H n+1 (X, A; G) und
∂ : Hn+1 (X, A) → Hn (A) seien die verbindenden Homomorphismen in den langen exakten Sequenzen. Man
zeige, dass
δ
H n (A; G)
−−−−→
H n+1 (X, A; G)




y
y
Hom(∂,G)
Hom(Hn (A), G) −−−−−−→ Hom(Hn+1 (X, A), G)
kommutiert, wobei die senkrechten Pfeile die kanonischen Abbildungen (induziert von der Auswertung von
Koketten auf Ketten) sind.
Übung 2. Es sei n ≥ 1. Berechnen Sie mit Hilfe des universellen Koeffiziententheorems H∗ (RP n ; G), und
H ∗ (RP n ; G) für G = Z/m, m ≥ 2, G = Q und G = R.
e ∗ (X; G) = 0 für G = Q und G = Z/p, wobei p eine beliebige
Übung 3. Es sei X ein topologischer Raum mit H
e
e ∗ (X; G) = 0 für alle abelschen Gruppen G.
Primzahl ist. Man zeige, dass H∗ (X; Z) = 0 und folglich H
Übung 4. Man zeige: Ist G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so existiert für jeden topologischen Raum
X und alle n ≥ 0 eine kurze exakte Sequenz
0 → H n (X; Z) ⊗ G → H n (X; G) → Tor(H n+1 (X; Z), G) → 0 .
Man zeige anhand eines Beispiels, dass dies nicht mehr richtig ist, falls G nicht endlich erzeugt ist.
Abgabe spätestens Mittwoch, den 21. Januar, um 10 Uhr im Übungskasten im Erdgeschoss.