— Blatt 10 —

Übungen zur Topologie I
— Blatt 10 —
Prof. Dr. Bernhard Hanke
7. Januar 2008
Übung 1. Es sei (X, A) ein CW-Paar. Man zeige, dass es einen relativen zellulären Kettenkomplex gibt, der aus den Gruppen Hi (X i , X i−1 ∪ Ai ) besteht und dessen Homologie
isomorph zur relativen singulären Homologie H∗ (X, A) ist.
Übung 2. Man zeige, dass der Isomorphismus zwischen zellulärer und singulärer Homologie natürlich im folgenden Sinne ist: Es seien X und Y CW-Komplexe und f : X → Y
eine stetige Abbildung, die zellulär ist, d.h. f (X n ) ⊂ Y n für alle n ≥ 0 (man kann
zeigen, dass jede stetige Abbildung X → Y homotop zu einer zellulären Abbildung ist).
Man zeige, dass f eine Kettenabbildung C∗cell (X) → C∗cell (Y ) und somit eine Abbildung
von zellulären Homologiegruppen f∗ : H∗cell (X) → H∗cell (Y ) induziert. Man zeige nun,
sing
dass unter dem Isomorphismus H∗cell ∼
aus der Vorlesung diese Abbildung genau
= H∗
der induzierten Abbildung f∗ : H∗ (X) → H∗ (Y ) zwischen singulären Homologiegruppen
entspricht.
Übung 3. Es sei X der zweidimensionale CW-Komplex, der durch Anheftung zweier
2-Zellen an S 1 (versehen mit der üblichen CW-Struktur bestehend aus einer 0-und einer
1-Zelle) mittels Abbildungen ∂D2 = S 1 → S 1 vom Grad 2 und Grad 3, entsteht. Man
berechne die Homologien sämtlicher nichtleerer Unterkomplexe A ⊂ X (davon gibt es,
wenn ich richtig gezählt habe, 5 Stück) und der entsprechenden Quotientenkomplexe
X/A. Zeigen Sie, dass X homotopieäquivalent zu S 2 ist. Hinweis: Verwenden Sie
das Ergebnis von Aufgabe 3 auf Blatt 9 der Übungen zur Einführung in die Topologie
(diese Tatsache ist in der Theorie der CW-Komplexe überhaupt sehr nützlich). Zeigen
Sie nun durch Anwendung der in der letzten Aufgabe entwickelten Technik, dass der
einzige nichtleere Unterkomplex A ⊂ X, für den die Quotientenabbildung X → X/A
eine Homotopieäquivalenz ist, der 0-dimensionale Unterkomplex von X ist.
Übung 4. (Spezialfall der universellen Koeffizientenformel) Es sei X ein topologischer
Raum und n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Man betrachte die kurze exakte Sequenz von
Kettenkomplexen
0 → C∗ (X) → C∗ (X) → C∗ (X; Z/n) → 0
wobei die erste Abbildung durch Multiplikation mit n gegeben ist (in jedem Grad) und
die zweite Abbildung durch den kanonischen Gruppenhomomorphismus Z → Z/n induziert ist. Man leite daraus die Existenz kurzer exakter Sequenzen
0 → Hi (X)/(n · Hi (X)) → Hi (X; Z/n) → n−Torsion(Hi−1 (X)) → 0
her. Dabei ist für eine beliebige abelsche Gruppe G die Untergruppe n−Torsion(G)
definiert als der Kern des Gruppenhomomorphismus G → G, der durch Multiplikation
mit n gegeben ist. Berechnen Sie mit Hilfe dieser kurzen exakten Sequenzen aufs neue
H∗ (RP n ; Z/2).
Abgabe bis zum Montag 14. Januar 2008, 22 Uhr, im passenden Übungskasten