Algebraische Topologie Blatt 12 - math.uni

Prof. Dr. B. Hanke
Algebraische Topologie
Blatt 12
Übung 1. Man zeige, dass die Familie kovarianter Funktoren (X, A) 7→ Hn (X, A) ⊗ G (mit n ≥ 0) nicht für
jede abelsche Gruppe G eine Homologietheorie im Sinne von Eilenberg und Steenrod auf der Katogorie der
topologischen Raumpaare definiert.
Übung 2. Es sei X ein endlichdimensionaler ∆-Komplex und G eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass die
∗
kanonische Restriktionsabbildung C ∗ (X; G) → C∆
(X; G) Isomorphismen in Kohomologie induziert. Analysieren
∗
n
n
Sie dazu insbesondere H (∆ , ∂∆ ; G) für n ≥ 0 (vgl. Lemma 5.2.). Es genügt, wenn Sie nur auf die wesentlichen
Beweisschritte eingehen.
Übung 3. Mit Hilfe geeigneter ∆-Komplex-Strukturen (siehe Hatcher, Seite 102) berechne man die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in Z und Z/2 des 2-Torus, des reell-projektiven Raumes RP 2 und der Kleinschen
Flasche.
Übung 4. Der Raum X entstehe durch Anheften einer (n + 1)-Zelle an S n (n ≥ 1) mittels einer Abbildung
∂Dn+1 → S n vom Grad m ∈ Z. Man zeige:
e ∗ (−; Z), jedoch eine
• Die Quotientenabbildung X → X/S n = S n+1 induziert die triviale Abbildung auf H
n+1
nichttriviale Abbildung auf H
(−; Z).
e ∗ (−; Z), jedoch eine nichttriviale Abbildung
• Die Inklusion S n ,→ X induziert die triviale Abbildung auf H
auf Hn (−; Z).
Abgabe spätestens Mittwoch, den 14. Januar, um 10 Uhr im Übungskasten im Erdgeschoss.