Aufgaben zur Vorlesung Topologie II

Aufgaben zur Vorlesung
Topologie II
Blatt 6
Sommersemester 2013
J. Ebert / U. Pennig
Abgabe: Freitag, den 07.06.2013
Aufgabe 1. Gegeben eine abelsche Gruppe A und ein n ∈ N. Sei MA,n der CW-Komplex
e n (MA,n ; Z) = A und H
e k (MA,n ; Z) = 0 für alle k 6= n aus Aufgabe 3 von Blatt 1.
mit H
e k (MA,n ; B) für alle k ∈ N0 auf zwei
Sei B eine weitere abelsche Gruppe. Berechnen Sie H
Arten: mittels des universellen Koeffiziententheorems und mittels des zellulären Kettenkomplexes.
Aufgabe 2. Seien X und Y Räume und seien A ⊂ X, B ⊂ Y . Wir setzen (X, A) ×
(Y, B) := (X × Y, X × B ∪ A × Y ).
(a) Zeigen Sie, dass das Kreuzprodukt × : C∗ (X)⊗C∗ (Y ) → C∗ (X ×Y ) eine wohldefinierte
Kettenabbildung × : C∗ (X, A) ⊗ C∗ (Y, B) → C∗ ((X, A) × (Y, B)) induziert.
(b) Zeigen Sie, dass auch die Abbildung θ : C∗ (X × Y ) → C∗ (X) ⊗ C∗ (Y ) eine entsprechende Abbildung C∗ ((X, A) × (Y, B)) → C∗ (X, A) ⊗ C∗ (Y, B) induziert.
Aus (a) folgt die Existenz eines Kreuzproduktes auf der Homologie von Raumpaaren. Aus
(b) folgt, dass durch f × g = (f ⊗ g) ◦ θ ein Kreuzprodukt × : H ∗ (X, A) ⊗ H ∗ (Y, B) →
H ∗ (X ×Y, A×Y ∪X ×B) auf der Kohomologie von Raumpaaren definiert wird. Definieren
Sie ein Cupprodukt: H ∗ (X, A) ⊗ H ∗ (X, B) → H ∗ (X, A ∪ B).
Aufgabe 3. Seien X, Y Räume und A ⊂ X. Sei f : X → Y eine stetige Abbildung. Zeigen
Sie, dass H ∗ (X; A) durch das Cup-Produkt zu einem Modul über dem Ring H ∗ (Y ) wird,
wobei die Wirkung gegeben ist durch:
id⊗f ∗
∪
H ∗ (X; A) ⊗ H ∗ (Y ) −→ H ∗ (X; A) ⊗ H ∗ (X) −→ H ∗ (X; A).
Man zeige, dass die lange exakte Kohomologiefolge des Paares (X, A) eine Sequenz von
H ∗ (Y )-Moduln ist. Hinweis: für festes α ∈ C q (Y ) ist β 7→ β × α eine Kettenabbildung
C ∗ (X) → C ∗ (X)[−q]. Bemerkung: Ist X = U0 ∪ U1 eine offene Überdeckung, so kann man
dasselbe Argument auf die Mayer-Vietoris-Sequenz anwenden.
Aufgabe 4. Seien X und Y Räume und f : X → Y eine stetige Abbildung, die Isomorphismen fk : Hk (X; Z) → Hk (Y ; Z) induziert. Zeigen Sie mit Hilfe des universellen Koeffiziententheorems in Homologie, dass f dann auch Isomorphismen fk : Hk (X; A) → Hk (Y ; A)
für beliebiges A induziert.
Nun sei (Y, X) ein Raumpaar. Es seien Hk (X; Z) und Hk (Y, Z) endlich erzeugt für jedes k.
Ferner gelte für jeden Körper F, dass die Inklusion Isomorphismen Hk (X; F) → Hk (Y, F)
induziert. Zeigen Sie, dass dann f∗ : Hk (X, Z) → Hk (Y, Z) ein Isomorphismus ist. Hinweis:
wenden Sie das universelle Koeffiziententheorem auf H∗ (Y, X) an und nutzen Sie den
Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen. Ist f : X → Y eine beliebige stetige
`
Abbildung von Räumen mit endlich erzeugter Homologie, so sei M f := X × [0, 1] Y / ∼,
(x, 1) ∼ f (x) der Abbildungszylinder von f . Die Abbildung p : M f → Y , p|Y = id,
p(x, t) := f (x), ist eine Homotopieäquivalenz, j : X → M f , x 7→ (x, 0) ist eine Inklusion
und p ◦ j = f . Nutzen Sie dies, um die eben bewiesene Aussage auf beliebige Abbildungen
(nicht nur Inklusionen) zu verallgemeinern.
Bemerkung: auf die Endlichkeitsbedingung kann verzichtet werden, der Beweis ist dann
etwas schwieriger.