Technische Universität München Algebraische Topologie
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Technische Universität München Zentrum Mathematik Algebraische Topologie Sommersemester 2011 Prof. Dr. Josef Dorfmeister — Dr. Jan Wehrheim Übungsblatt 5 Aufgabe 1: Ränder zeichnen Wir betrachten den 2-Quader T = id : I 2 → R2 . Berechnen Sie ∂2 (T ) und stellen Sie das Ergebnis zeichnerisch dar. Berechnen Sie explizit ∂1 (∂2 (T )) und erklären Sie das Ergebnis anhand der Zeichnung. Aufgabe 2: Die Augmentierung Es sei X 6= ∅ ein topologischer Raum. Wir definieren die Augmentierung X X : Q0 (X) → Z ; a(m)xm 7→ a(m), m∈I m∈I wobei I eine endliche Indexmenge ist. Beweisen Sie: a) Die Augmentierung ist ein surjektiver Homomorphismus und induziert einen surjektiven Homomorphismus : C0 (X) → Z. b) Es gilt ◦ ∂1 = 0 und somit B0 (X) ⊂ ker . c) Ist X wegzusammenhängend, so gilt ker = B0 (X). In diesem Fall induziert also einen Isomorphismus ∼ = ∗ : H0 (X) → Z. Aufgabe 3: Reduzierte Homologie Es seien X 6= ∅ ein topologischer Raum und die Augmentierung wie in Aufgabe 3. Wir definieren die 0-dimensionale reduzierte Homologie Gruppe e 0 (X) := ker /B0 (X). H Zeigen Sie, dass die Sequenz ξ∗ e 0 (X) −−− 0 −−−−→ H −→ H0 (X) −−−∗−→ Z −−−−→ 0 exakt ist. Hierbei ist ξ∗ der von der Inklusion ξ : ker → C0 (X) induzierte Homomorphismus. Aufgabe 4: Das Fünferlemma Das folgende Diagramm von Gruppen und Homomorphismen sei kommutativ: φ1 φ2 φ3 φ4 ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 A1 −−−−→ A2 −−−−→ A3 −−−−→ A4 −−−−→ A5 f1 y f2 y f3 y f4 y f5 y B1 −−−−→ B2 −−−−→ B3 −−−−→ B4 −−−−→ B5 Ferner seien beide Zeilen exakt, f2 und f4 seien Isomorphismen, f1 sei surjektiv und f5 sei injektiv. Beweisen Sie, dass dann f3 ein Isomorphismus ist! Informationen: Die Aufgaben werden in der Übung am 9. Juni besprochen.
