Serie 11

Prof. Dr. J. Heber
L. Schiemanowski
WiSe 2014/15
Übungen zu Algebraische Topologie“
”
Serie 11
n
:= {x ∈ S n :
In Rn+1 ⊃ Dn+1 ⊃ S n ⊃ P := {en+1 } betrachte man die Teilmengen D+
n−1
n
n
n
n
xn+1 ≥ 0} , D− := {x ∈ S : xn+1 ≤ 0} und S0 := D+ ∩ D− .
43. Es sei Y ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
Hq (S n × Y ) ∼
= Hq (Y ) ⊕ Hq (S n × Y, P × Y ) .
(Hinweis: Homologiesequenz des Paares (S n × Y, P × Y ) ; Aufgabe 35.)
44. Begründen Sie jede der folgenden Isomorphien:
n
n
× Y, S0n−1 × Y )
×Y)∼
Hq (S n × Y, P × Y ) ∼
= Hq (D−
= Hq (S n × Y, D+
∼
= Hq (Dn × Y, S n−1 × Y ) ∼
= Hq−1 (S n−1 × Y, P × Y ) .
(Hinweis: Der letzte Isomorphismus verwendet die Homologiesequenz des Tripels
(Dn ×Y, S n−1 ×Y, P ×Y ) .) Folgern Sie: Hq (S n ×Y, P ×Y ) ∼
= Hq−n (S 0 ×Y, P ×Y ) ∼
=
Hq−n (Y ) . Mit Aufgabe 43 folgt:
Hq (S n × Y ) ∼
= Hq (Y ) ⊕ Hq−n (Y ) .
45. Bestimmen Sie alle Homologiegruppen Hq (S n1 × S n2 ) für ni ≥ 0 .
46. Zeigen Sie: Ist für eine stetige Abbildung f : S n → S n der induzierte Homologief∗
Homomorphismus Z ∼
= H̃n (S n ) → H̃n (S n ) nicht-trivial, so ist f surjektiv. (Hinweis:
Aufgabe 23.)
Abgabe: Bis Di, den 27.1.2015, in Lothar Schiemanowskis Postfach (LMS4 - 3. Stock).