12.¨Ubungsblatt zur ” Vorlesung Hilbertraummethoden“

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Helge Glöckner
Dr. Elke Wolf
WS 09/10
11.01.2010
12. Übungsblatt zur
Vorlesung Hilbertraummethoden“
”
Gruppenübung
Aufgabe G34 (Abgeschlossener Graph)
Sei X ein topologischer Raum, Y ein Hausdorffscher topologischer Raum und f : X → Y
eine stetige Abbildung. Zeigen Sie, daß der Graph
G := {(x, f (x)); x ∈ X}
in X × Y abgeschlossen ist.
Aufgabe G35 (Satz über offene Abbildungen)
Es sei (E, k.k) ein normierter Raum. Ein Untervektorraum F ⊆ E heißt komplementiert,
wenn ein Untervektorraum G ⊆ E existiert derart, daß die Abbildung
α : F × G → E, α(x, y) := x + y
ein topologischer Isomorphismus ist.
(a) Machen Sie sich klar: Ist G ⊆ E ein Untervektorraum derart, daß E = F + G und
F ∩ G = {0}, so ist α ein Isomorphismus von Vektorräumen und stetig.
(b) Ist α ein topologischer Isomorphismus, so sind F und G abgeschlossen in E.
(c) Ist E ein Banachraum und sind F und G abgeschlossene Untervektorräume von E
mit E = F + G und F ∩ G = {0}, so ist α ein topologischer Isomorphismus.
Aufgabe G36 (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit)
Es sei X ein Banachraum, Y ein normierter Raum und (An )n eine Folge in L(X, Y ),
die punktweise gegen A : X → Y konvergiert. Mit dem Prinzip der gleichmäßigen
Beschränktheit folgt dann A ∈ L(X, Y ), d.h. A ist automatisch stetig. Gilt dann stets
An → A in L(X, Y ) bezüglich der Operatornorm, also kAn − Akop → 0?
Hausübung
Aufgabe H28 (Satz vom abgeschlossenen Bild)
Es seien X und Y Banachräume und T ∈ L(X, Y ). Zeigen Sie: T ist offen genau dann,
wenn T X abgeschlossen in Y ist.
Hinweis: Benutzen Sie den Satz von der offenen Abbildung. Ferner betrachten Sie das
folgende Diagramm
X
// T X
u::
u
u
T̂ uu
uu
uu
J
// Y
x/ker T
und zeigen Sie daß T̂ ein topologischer Isomorphismus auf T X ist.
Aufgabe H29 (Spektrum und Eigenwerte)
(a) Sei S : ℓ2 → ℓ2 , (x1 , x2 , ...) →
7 (0, x1 , x2 , ...). Beweisen Sie, daß S keine Eigenwerte
hat.
(b) Sei λ = (λn )n ∈ ℓ∞ . Ferner sei
Mλ : ℓ2 → ℓ2 , (x1 , x2 , ...) 7→ (λ1 x1 , λ2 x2 , ...).
Berechnen Sie das Spektrum von Mλ .
Aufgabe H30 (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit)
Sei M ⊆ L(E, F ) punktweise beschränkt. Für alle n ∈ N sei
An := {x ∈ E; kT xk ≤ n für alle T ∈ M }.
Zeigen Sie:
(a) An + An ⊆ A2n .
◦
◦
◦
(b) An − An ⊆ A2n .
E
F
(c) Sei T ∈ L(E, F ) derart, daß T (B r (0)) ⊆ B s (0), so folgt kT k ≤ rs .