¨Ubungen zur Vorlesung Funktionalanalysis WS2013/14 Siegfried

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis WS2013/14
Siegfried Echterhoff
Blatt 2
Mündliche Aufgaben
Aufgabe 1. Ist (E, τ ) ein topologischer K-VR und ist F ⊆ E ein linearer Teilraum von
E, so ist auch der Abschluss F von F in E ein linearer Teilraum von E.
Aufgabe 2. Ist (E, k · k) ein normierter K-VR, so ist k · k : E → [0, ∞) stetig.
Aufgabe 3. Sind E, F topologische K-Vektorräume mit F hausdorffsch, und ist M ⊆ E,
so dass LH(M ) dicht ist in E, so gilt für S, T ∈ L(E, F ):
S = T ⇔ S(x) = T (x) für alle x ∈ M.
Erinnerung: Ein topologischer Raum X heißt hausdorffsch, falls für je zwei Punkte x, y ∈
X mit x 6= y Umgebungen U von x und V von y existieren mit U ∩ V = ∅. Überlegen Sie
sich auch, dass jeder metrische Raum hausdorffsch ist!
Aufgabe 4. Seien E und F normierte K-Vektorräume und sei T : E → F linear. Zeigen
Sie: Ist c ≥ 0, so sind äquivalent:
(1) c = kT kop .
(2) Es gilt kT xk ≤ ckxk ∀x ∈ E und für jedes ε > 0 existiert ein x ∈ E mit kxk ≤ 1
und kT xk > c − ε.
Benutzen Sie diese Beobachtung um folgendes zu zeigen: Sei X ein topologischer Raum
und sei Cb (X) := CbC (X) versehen mit k · k∞ . Zeigen Sie: Ist f ∈ Cb (X) fest, so ist
Mf : Cb (X) → Cb (X) : Mf (g) = f · g
(mit f · g(x) := f (x)g(x)) eine stetige lineare Abbildung mit kMf kop = kf k∞ . Die Abbildung M : Cb (X) → L(Cb (X), Cb (X)); f 7→ Mf ist also eine isometrische lineare Abbildung.
Notation: Eine lineare Abbildung T : E → F zwischen normierten Räumen E und F
heißt isometrisch, falls für alle x ∈ E gilt: kT xk = kxk.
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Schriftliche Aufgaben
Aufgabe 1. Seien
c := {f : N → C : lim f (n) existiert}
n→∞
und
c0 := {f : N → C : lim f (n) = 0},
n→∞
beide versehen mit kf k∞ = supn∈N |f (n)|. Sei T : c0 → c definiert durch
(T f )(n) := f (n + 1) + f (1)
∀n ∈ N.
Zeigen Sie:
(1) (c, k · k∞ ) und (c0 , k · k∞ ) sind Banachräume.
(2) T ist ein topologischer Isomorphismus.
Berechnen Sie auch die Operatornormen von T und T −1 .
Aufgabe 2. Sei l1 := {f : N → C : kf k1 :=
Sie:
P∞
n=1 |f (n)|
< ∞} versehen mit k · k1 . Zeigen
(1) (l1 , k · k1 ) ist ein normierter C-Vektorraum.
(2) Jedes f ∈ l1 definiert ein stetiges lineares Funktional Sf : c0 → C durch Sf (g) =
P∞
1
n=1 f (n)g(n) und es gilt kSf kop = kf k1 für alle f ∈ l (N).
1
0
(3) Die Abbildung S : l → c0 ist ein isometrischer Isomorphismus.
(4) (l1 , k · k1 ) ist ein Banachraum.
Aufgabe 3. Sei E ein normierter K-VR und sei F ein K-Banachraum. Sei Z ⊆ E ein
dichter linearer Teilraum von E (also Z = E). Als Teilraum von E ist dann auch Z ein
normierter K-VR. Zeigen Sie: Die Abbildung res : L(E, F ) → L(Z, F ); res(T ) := T |Z ist
ein isometrischer Isomorphismus. Hierbei bezeichnet T |Z die Einschränkung von T auf Z.
Aufgabe 4. Zurück zum Thema von Aufgabe 2: Sei
c00 := {f ∈ c0 : ∃N ∈ N mit f (n) = 0 ∀n ≥ N }
der Raum aller endlichen komplexen Folgen versehen mit k · k∞ . Beweisen Sie:
(1) Der Dualraum c000 von c00 ist isometrisch isomorph zu l1 .
(2) Der Dualraum (l1 )0 von l1 ist isometrisch isomorph zu l∞ := l∞ (N).
(3) Freiwillige Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie alle stetigen linearen Funktionale von c.
Abgabe: Neuer Termin! Dienstag, den 29.10. 2013, 14Uhr