Diagrammjagden Teil 2 und die Homologiegruppen der Sphäre

Thorsten Klein
Seminar: Homologische Algebra
Diagrammjagden Teil 2 und die
Homologiegruppen der Sphäre
Sei (H∗ , ∂∗ ) eine Homologietheorie.
Bemerkung 1
Für jeden topologischen Raum X gilt Hn (X, X) = 0 für alle n ∈ Z.
Lemma 2 (Sequenz von Tripeln)
Sei X ein topologischer Raum und A ⊆ B ⊆ X. Weiter seien i : (B, A) ,→ (X, A) und j : (X, A) ,→ (X, B) die
Inklusionen. Dann gibt es eine lange exakte Sequenz der Form:
...
∂n+1 (X,B,A)
Hn (B, A)
Hn (i)
Hn (X, A)
Hn (j)
Hn (X, B)
∂n (X,B,A)
...
Hn−1 (B, A)
Satz 3 (Mayer-Vietoris-Sequenz)
Seien X ein topologischer Raum und X1 , X2 ⊆ X Unterräume so gewählt, dass für X0 := X1 ∩ X2 und
∼
l : (X1 , X0 ) ,→ (X, X2 ) die Inklusion Hn (l) : Hn (X1 , X0 ) −→ Hn (X, X2 ) für jedes n ∈ Z ein Isomorphismus ist.
Weiter sei A ⊆ X0 ein Unterraum. Dann gibt es eine lange exakte Sequenz der Form:
...
∂n+1 (X;X1 ,X2 )
Hn (X0 , A)
Hn (i1 )⊕Hn (i2 )
Hn (j1 )−Hn (j2 )
Hn (X, A)
Hn (X1 , A) ⊕ Hn (X2 , A)
∂n (X;X1 ,X2 )
Hn−1 (X0 , A)
...
Dabei sind ib : (X0 , A) ,→ (Xb , A) und jb : (Xb , A) ,→ (X, A) für b ∈ {1, 2} die Inklusionen.
Bemerkung 4
Sind X1 und X2 offen und gilt X = X1 ∪ X2 , so sind die Voraussetzungen aus Satz 3 stets erfüllt.
Definition 5
Sei X ein topologischer Raum. Die Einhängung von X ist definiert als ΣX := X × [−1, 1]/∼ . Dabei ist ∼ die
von (x, 1) ∼ (y, 1) und (x, −1) ∼ (y, −1) für alle x, y ∈ X erzeugte Äquivalenzrelation. Man identifiziert X mit
X × {0}.
Thorsten Klein
Seminar: Homologische Algebra
Satz 6 (Einhängungsisomorphismus)
Sei X ein topologischer Raum und p ∈ X. Dann gibt es einen Isomorphismus
∼
σn : Hn+1 (ΣX, {p}) −→ Hn (X, {p})
für alle n ∈ Z.
Bemerkung 7
Sei X ein topologischer Raum und p ∈ X. Dann gilt
Hn (X) ∼
= Hn ({p}) ⊕ Hn (X, {p})
für alle n ∈ Z.
Korollar 8
Die n-te Homologiegruppen der d-dimensionalen Sphäre ist Hn (S d ) ∼
= Hn (•) ⊕ Hn−d (•).
Erfüllt (H∗ , ∂∗ ) das Dimensionsaxiom, so gilt für d ≥ 1
(
Z , n ∈ {0, d}
d ∼
.
Hn (S ) =
0 , sonst
Korollar 9
Für d, e ∈ N sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) Rd und Re sind homöomorph,
(b) S d−1 und S e−1 sind homotopieäquivalent,
(c) d = e.
Literatur:
* Wolfgang Lück. Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten. Vieweg Studium. Vieweg,
2005.
* Allen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.