12. Mai
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Einführung in die Topologie (SS 14) Bernhard Hanke Universität Augsburg 12.05.2013 Bernhard Hanke 1/5 Existenz reeller Funktionen, Metrisierbarkeit Definition Ein topologischer Raum X heißt normal, falls folgendes gilt: Seien A, B ⊂ X disjunkte abgeschlossene Mengen. Dann gibt es offene Teilmengen UA , UB ⊂ X mit A ⊂ UA , B ⊂ UB und UA ∩ UB = ∅. Beispiele I Metrische Räume sind normal. I Kompakte Hausdorffräume sind normal. Lemma (Lemma von Urysohn) Es sei X ein normaler topologischer Raum, F , G ⊂ X disjunkte abgeschlossene Teilmengen. Dann gibt es eine stetige Funktion f : X → [0, 1], die auf F konstant gleich 0 und auf G konstant gleich 1 ist. Bernhard Hanke Existenz reeller Funktionen, Metrisierbarkeit 2/5 Definition Ein topologischer Raum erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, falls eine abzählbare Basis der Topologie existiert. Satz (Metrisierbarkeitssatz von Urysohn) Es sei X ein topologischer Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Dann ist X genau dann metrisierbar, wenn er normal und Hausdorffsch ist. Bernhard Hanke Existenz reeller Funktionen, Metrisierbarkeit 3/5 Satz (Erweiterungssatz von Tietze) Es sei X ein normaler Raum und F ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge. Ist f : F → R stetig, so existiert eine stetige Fortsetzung g : X → R von f , d.h. g |F = f . Wir können außerdem erreichen, dass supx∈F f (x) = supx∈X g (x) und inf x∈F f (x) = inf x∈X g (x). Definition Es sei X ein topologischer Raum und (Y , d) ein metrischer Raum. Eine Folge von Abbildungen (fn )n∈N , fn : X → Y konvergiert gleichmäßig gegen f : X → Y , falls für alle > 0 ein N ∈ N existiert mit d(fn (x), f (x)) < , für alle x ∈ X und alle n ≥ N. Proposition Es seien X , Y wie eben und (fn ) eine gleichmäßig gegen die Funktion f : X → Y konvergente Folge stetiger Abbildungen. Dann ist auch f stetig. Bernhard Hanke Existenz reeller Funktionen, Metrisierbarkeit 5/5
