12. Mai

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
12.05.2013
Bernhard Hanke
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Existenz reeller Funktionen, Metrisierbarkeit
Definition
Ein topologischer Raum X heißt normal, falls folgendes gilt: Seien
A, B ⊂ X disjunkte abgeschlossene Mengen. Dann gibt es offene
Teilmengen UA , UB ⊂ X mit A ⊂ UA , B ⊂ UB und UA ∩ UB = ∅.
Beispiele
I
Metrische Räume sind normal.
I
Kompakte Hausdorffräume sind normal.
Lemma (Lemma von Urysohn)
Es sei X ein normaler topologischer Raum, F , G ⊂ X disjunkte
abgeschlossene Teilmengen. Dann gibt es eine stetige Funktion
f : X → [0, 1], die auf F konstant gleich 0 und auf G konstant gleich 1 ist.
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Existenz reeller Funktionen, Metrisierbarkeit
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Definition
Ein topologischer Raum erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, falls eine
abzählbare Basis der Topologie existiert.
Satz (Metrisierbarkeitssatz von Urysohn)
Es sei X ein topologischer Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom
erfüllt. Dann ist X genau dann metrisierbar, wenn er normal und
Hausdorffsch ist.
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Satz (Erweiterungssatz von Tietze)
Es sei X ein normaler Raum und F ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge.
Ist f : F → R stetig, so existiert eine stetige Fortsetzung g : X → R von
f , d.h. g |F = f . Wir können außerdem erreichen, dass
supx∈F f (x) = supx∈X g (x) und inf x∈F f (x) = inf x∈X g (x).
Definition
Es sei X ein topologischer Raum und (Y , d) ein metrischer Raum. Eine
Folge von Abbildungen (fn )n∈N , fn : X → Y konvergiert gleichmäßig gegen
f : X → Y , falls für alle > 0 ein N ∈ N existiert mit
d(fn (x), f (x)) < ,
für alle x ∈ X und alle n ≥ N.
Proposition
Es seien X , Y wie eben und (fn ) eine gleichmäßig gegen die Funktion
f : X → Y konvergente Folge stetiger Abbildungen. Dann ist auch f stetig.
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