Lineare Algebra II (SS 13)

Lineare Algebra II (SS 13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
15.07.2013
Bernhard Hanke
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Trägheitssatz von Sylvester
Die Eigenwerte der darstellenden Matrix einer symmetrischen Bilinearform
hängen von der gewählten Basis ab,
die auftretenden Vorzeichen dieser Eigenwerte jedoch nicht.
Trägheitssatz von Sylvester ( 7.8)
Es sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und γ : V × V → R
eine symmetrische Bilinearform. Es seien B und C zwei Basen von V und
S := MB (γ) und T := MC (γ) die entsprechenden darstellenden Matrizen.
Es seien s+ und s− die Anzahlen der positiven, bzw. negativen Eigenwerte
von S. Entsprechend definieren wir t+ und t− . Dann gilt
s+ = t+ , s− = t− .
Bernhard Hanke
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James Joseph Sylvester FRS
1814 (London) - 1897 (London)
Bernhard Hanke
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I
Die Anzahl der positiven negativen Eigenwerte, bzw. des Eigenwertes
0 einer darstellenden Matrix von γ werden mit r+ (γ), r− (γ) und r0 (γ)
bezeichnet.
I
Die Zahlen r+ (γ) und r− (γ) fasst man manchmal auch zur Signatur
(r+ , r− ) von γ zusammen.
I
Symmetrische Bilinearformen der Signatur (1, 3) (manchmal auch
(+, −, −, −) geschrieben) auf vierdimensionalen reellen Vektorräumen
werden in der Relativitätstheorie untersucht.
Hermann Minkowski
1864 (Aleksotas, Russland) 1909 (Göttingen)
Bernhard Hanke
Albert Einstein
1879 (Ulm) - 1955 (Princeton, NJ)
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Folgerung (Normalform für reelle symmetrische Bilinearformen,7.9)
Es sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und γ : V × V → R
eine symmetrische Bilinearform der Signatur (r+ , r− ) (folglich
r0 = n − (r+ + r− )). Dann existiert eine Basis B von V , so dass


Er+
0

Er−
MB (γ) = 
0
0
wobei die fette 0 unten rechts die Nullmatrix in Rr0 ×r0 bezeichnet.
Bernhard Hanke
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Definition
Es sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und γ : V × V → R
eine symmetrische Bilinearform. Wir nennen γ
I
positiv definit, falls γ(v , v ) > 0 für alle v ∈ V ,
I
positiv semidefinit, falls γ(v , v ) ≥ 0 für alle v ∈ V ,
I
negativ definitv, falls γ(v , v ) < 0 für alle v ∈ V ,
I
negativ semidefinit, falls γ(v , v ) ≤ 0 für alle v ∈ V ,
I
indefinit, falls es v , w ∈ V gibt mit γ(v , v ) > 0 und γ(w , w ) < 0.
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Wir erinnern daran, dass positiv definite symmetrische Bilinearformen auf
einem reellen Vektorraum Skalarprodukte genannt werden.
Proposition (7.10)
Es sei V ein reeller Vektorraum, n := dim V und γ : V × V → R eine
symmetrische Bilinearform der Signatur (r+ , r− ). Dann gilt folgendes:
I
γ ist genau dann positiv definit, falls r+ = n.
I
γ ist genau dann positiv semidifinit, falls r− = 0.
I
γ ist genau dann indefinit, falls r+ > 0 und r− > 0.
Entsprechende Aussage gelten für negative (Semi-)Definitheit.
Bernhard Hanke
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Satz (Hauptminoren-Kriterium, 7.11)
Es sei A ∈ Rn×n eine symmetrische Matrix. Für k = 1, . . . , n bezeichnen
wir mit Hk ∈ R die Determinante der linken oberen (k × k)-Teilmatrix, die
auch k-ter Hauptminor von A genannt wird. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
I
A ist positiv definit.
I
Hk > 0 für alle k = 1, . . . , n.
Für hermitesche Sesquilinearformen auf endlichdimensionalen unitären
Vektorräumen gelten entsprechende Aussagen.
Bernhard Hanke
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