Übungsblatt 6 - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
A. Kresch
30.03.2017
Lineare Algebra II
Frühjahrssemester 2017 - Übungsblatt 6
Abgabe Donnerstag, 06.04.2017, vor der Vorlesung im Raum Y03G95
1
Sei A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) eine quadratische Matrix über R und sei vj := (a1j , . . . , anj ) ∈ Rn für
j = 1, . . . , n. Zeigen Sie:
G(v1 , . . . , vn ) = det(A)2 ,
wobei G(v1 , . . . , vn ) die Gramsche Determinante bezeichnet.
Hinweis. Betrachten Sie die Matrix t A A.
2
(2 Punkte)
Seien x, y, z ∈ R3 . Zeigen Sie, dass x, y und z genau dann linear unabhängig sind, wenn x × y, x × z
und y × z linear unabhängig sind.
(4 Punkte)
3
Sei V ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum.
(a) Zeigen Sie, V mit eingeschränkter Skalarmultiplikation ist ein reeller Vektorraum und es gilt:
dimR (V ) = 2 dimC (V ).
(b) Sei s : V ×V → C eine hermitesche Sesquilinearform auf V . Zeigen Sie, dass (v, w) 7→ Re(s(v, w))
eine symmetrische Bilinearform auf V als reellem Vektorraum ist.
(c) Sei h , i ein Skalarprodukt auf V . Zeigen Sie, dass V als reeller Vektorraum mit (v, w) 7→
Re(hv, wi) ein euklidischer Vektorraum ist.
(6 Punkte)
4
Finden Sie jeweils eine Orthonormalbasis von Cn (für das Standardskalarprodukt), die die angegebene
Matrix diagonalisiert.


0 1 0
(1 + i)/2 −(1 + i)/2


(a) 0 0 1 ∈ U (n) für n = 3,
(b)
∈ U (n) für n = 2.
(1 + i)/2 (1 + i)/2
1 0 0
(8 Punkte)