Übungen zur Funktionalanalysis Blatt 3 Prof. Dr. R

Übungen zur Funktionalanalysis
Blatt 3
Prof. Dr. R. Weissauer
Dr. T. Krämer
Wintersemester 2013/14
Abgabe: 07. November, 11 Uhr
Aufgabe 7. Sei A ⊂ R ein kompaktes Intervall und k : A × A → R stetig. Zeigen
Sie, dass dann durch
Z
L : C(A, R) −→ C(A, R), (Lf )(x) =
k(x, y)f (y)dy
A
eine stetige lineare Abbildung definiert wird mit der Operatornorm
Z
kLk = sup
|k(x, y)| dy ,
x∈A
A
wobei der Vektorraum C(A, R) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen sei.
Aufgabe 8. Es sei V der Vektorraum aller reellen Folgen a = (a1 , a2 , . . . ) mit nur
endlich vielen von Null verschiedenen Termen, versehen mit der Supremumsnorm.
(a) Geben Sie eine stetige bijektive lineare Abbildung f : V → V an, deren
Umkehrabbildung f −1 : V → V nicht stetig ist.
(b) Finden Sie die Vervollständigung V̂ von V unter der Supremumsnorm. Ist die
von f induzierte stetige lineare Abbildung fˆ : V̂ → V̂ bijektiv?
Aufgabe 9. Gegeben sei eine Folge a1 , a2 , . . . reeller
Zahlen, sodass für jede gegen
P∞
Null konvergente Folge b1 , b2 , . . . auch die Reihe n=1 an bn konvergiert. Folgern
Sie aus dem Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit, dass dann
∞
X
|an | < ∞
n=1
gilt. Betrachten Sie hierzu die Funktionale fn : (b1 , b2 , . . . ) 7→ a1 b1 + · · · + an bn auf
dem Vektorraum aller gegen Null konvergenten Folgen, wobei dieser als Banachraum
bezüglich einer geeigneten Norm betrachtet werde.
Können Sie auch einen direkten Beweis der obigen Aussage finden?
Die Übungsblätter zur Vorlesung über Funktionalanalysis gibt es auch auf der
zugehörigen Homepage:
www.mathi.uni-heidelberg.de/~tkraemer/Funktionalanalysis/