Übungsblatt 1

Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik
Institut für Mathematik und Rechneranwendung
Funktionalanalysis (ME), Prof. Dr. J. Gwinner
Übung: N. Ovcharova
11.-18. Oktober 2013
Übungsblatt 1
1. Norm auf S n ( = Norm auf Räumen endlicher Folgen )
S bezeichne im Folgenden den Skalarbereich eines Vektorraums V , wobei S = R oder S = C.
(a) Bestimmen Sie alle Normen über dem reellen (d.h. S = R) Vektorraum V = R.
Pn
(b) Wir definieren die Abbildung k · k1 : S n → R durch kxk1 := i=k |xk | und setzen
(S n , k · k1 ) =: ln1 (Raum endlicher Folgen). Zeigen Sie, dass ln1 ein normierter Raum ist.
2. Fréchet-Metrik auf S N
S N bezeichne den Vektorraum aller Folgen in S mit S N := x = (xk )k∈N : xk ∈ S . Hierzu definieren wir d : S N × S N → R durch
d(x, y) :=
∞
X
2−k
k=1
|xk − yk |
.
1 + |xk − yk |
(Fréchet-Metrik)
(a) Weisen Sie nach, dass S N , d ein metrischer Raum ist.
˜ y) = ln (1 + d(x, y)) ; x, y ∈ S N ebenfalls eine Metrik auf S N gegeben?
(b) Ist durch d(x,
(c) Wir betrachten die Folgen x, y ∈ S N mit xk =
Abschätzung 51 < d(x, y) < 14 gilt.
1
k
und
(d) Prüfen Sie, ob die Abbildung % : S N → R mit %(x) :=
S N definiert.
yk =
1
k+1 .
P∞
2−k
k=1
Zeigen Sie, dass die
|xk |
1+|xk |
eine Norm auf
(e) Beweisen Sie, dass S N , d ein vollständiger metrischer Raum - d.h. ein Fréchet-Raum - ist.
3. Cauchy-Folgen in normierten Räumen
Sei (V , k · k) ein normierter Vektorraum. Beweisen Sie:
(a)(xk )k∈N ⊂ V ist eine Cauchy-Folge. ⇒ (xk )k∈N ist beschränkt in V .
(b) Die Cauchy-Folge (xk )k∈N besitze eine konvergente Teilfolge, d.h. xkj −→ x0 in V , dann
j→∞
konvergiert die gesamte Folge gegen x0 .
4. Vektorraum der stetigen Funktionen
tionen auf dem Intervall [0, 1].
Sei X = C([0, 1]) die Menge aller stetigen reellen Funk-
(a) Zeigen Sie, dass X ein Vektorraum ist.
(b) Geben Sie 4 linear unabhängige Funktionen an.
(c) Betrachten Sie den Vektorraum Pn aller Polynome vom Grad ≤ n. Weisen Sie, nach, dass
Pn ein Vektorraum ist. Geben Sie eine Basis von Pn an. Bestimmen Sie die Dimension.
(d) Zeigen Sie, dass dim (X) = ∞.
(e) Sei jetzt C 1 ([−1, 1]) die Menge aller in [−1, 1] stetig differenzierbaren reellen Funktionen. Begründen Sie, dass C 1 ([−1, 1]) ein Untervektorraum von C([−1, 1]) ist. Ist C 1 ([−1, 1]) abgeschlossen
bzgl. der Supremumsnorm kf k = max |f (x)| ?
x∈[−1,1]