4. Übung zur Approximationstheorie ∑ Vn = ∏

L EHRSTUHL A FÜR M ATHEMATIK
Aachen, den 24. November 2004
Prof. Dr. E. Görlich
Dipl.-Math. I. Klöcker
4. Übung zur Approximationstheorie
Abgabe: Montag, 6. Dezember 2004, 12 Uhr
Definition: Sei X 6= {0} ein normierter Vektorraum. Eine Menge Φ = {φ1 , . . . , φn } stetiger, reell- oder
komplexwertiger Funktionen auf X heißt ein Chebychev-System (oder Haar-System) auf X, falls die
folgende Bedingung erfüllt ist:
Sind x1 , . . . , xn ∈ X paarweise verschieden, dann gilt


φ1 (x1 ) · · · φn (x1 )

..  6= 0.
..
D(Φ; x1 , . . . , xn ) := det  ...
.
. 
φ1 (xn ) · · · φn (xn )
Aufgabe 1 (5 Punkte)
Sei X 6= {0} ein normierter Vektorraum und seien x1 , . . . , xn ∈ X paarweise verschieden. Ferner sei
Φ = {φ1 , . . . , φn } eine Menge stetiger, komplexwertiger Funktionen auf X. Das allgemeine (komplexe)
Lagrange-Interpolationsproblem lautet dann:
Gegeben seien beliebige komplexe Zahlen y1 , . . . , yn . Gesucht sind Koeffizienten
a1 , . . . , an ∈ C, so dass gilt:
n
∑ a j φ j (xi) = yi
für 1 ≤ i ≤ n.
j=1
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) Für beliebige y1 , . . . , yn ∈ C und paarweise verschiedene Elemente x1 , . . . , xn ∈ X ist das allgemeine (komplexe) Lagrange-Interpolationsproblem eindeutig lösbar.
(ii) Φ ist ein Chebychev-System.
(iii) Jede Funktion P = a1 φ1 + · · · + an φn , für die mindestens einer der Koeffizienten ai 6= 0 ist, hat
höchstens n − 1 paarweise verschiedene Nullstellen in X.
Aufgabe 2 (3 + 1 Punkte)
a) Gegeben seien n + 1 paarweise verschiedene komplexe
Vandermonde-Determinante

1 z0 · · ·
 .. .. . .
Vn := det  . .
.
1 zn · · ·
den folgenden Wert besitzt:
Vn =
∏
Zahlen z0 , . . . , zn . Zeigen Sie, dass die

zn0
.. 
.
znn
(z j − zi ).
0≤i< j≤n
b) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 1 und Teil a), dass das spezielle (komplexe) LagrangeInterpolationsproblem der Vorlesung (vgl. Satz III.1) eine eindeutige Lösung hat.
Aufgabe 3 (1 + 2 + 2 + 2 + 2 Punkte)
Für f ∈ X2π und m, n ∈ N0 , m ≤ n sind die de La Vallée-Poussin Mittel (delayed means) definiert
durch
n
1
Vm,n f (x) :=
∑ Sk f (x),
n − m + 1 k=m
wobei Sk f die k-te Fourier-Teilsumme von f ∈ X2π bezeichne.
a) Welche Operatoren werden über die Spezialfälle m = 0 bzw. m = n reproduziert?
b) Zeigen Sie die Darstellung
1
Vm,n f (x) =
2π
Z π
−π
f (x − u)vm,n (u) du
mit Kern
n+1
m
Fn (x) −
Fm−1 (x),
n−m+1
n−m+1
wobei Fn der Fejér-Kern ist und F−1 (x) := 0 gesetzt wird.
vm,n (x) :=
c) Bestimmen Sie die sogenannten Konvergenzfaktoren ρk,m,n in der Darstellung
n
vm,n (x) =
∑
ρk,m,n eikx .
k=−n
d) Zeigen Sie, dass für die spezielle Wahl m = [n/2] + 1 die Vm,n einen Approximationsprozess auf
X2π bilden ([x] bezeichne die Gaussklammer von x).
e) Zeigen Sie die Projektionseigenschaft der Vm,n auf Πm , d. h. für alle tm ∈ Πm gilt
Vm,n (tm ) = tm .
Aufgabe 4 (1 + 5 + 1 + 3 Punkte)
Das Legendre-Polynom der Ordnung n ∈ N0 sei definiert durch
q
n + 12 d n
n
ϕn (x) := (−1)
[(1 − x2 )n ]
n
2 n! dx
Zeigen Sie:
für alle x ∈ R.
a) Es gilt ϕn (x) = ∑nk=0 ak xk mit an 6= 0, d. h. ϕn ∈ Pn .
b) Die Folge (ϕn )n≥0 bildet ein Orthonormalsystem im Raum L2 (−1, 1), d. h.
Z1
ϕn (x)ϕk (x) dx = δn,k
für n, k ∈ N0 .
−1
c) Für alle n ∈ N ist ϕn orthogonal auf Pn−1 , d. h. für alle pn−1 ∈ Pn−1 gilt
Z1
ϕn (x)pn−1 (x) dx = 0.
−1
d) Zeigen Sie, dass die ϕn bis auf das Vorzeichen die einzigen Polynome aus Pn sind, die b) erfüllen.
Hinweis: Verwenden Sie das Eulersche Integral erster Art (Eulersche Betafunktion)
Z1
B(x, y) =
0
t x−1 (1 − t)y−1 dt =
Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
für alle x, y > 0.
Aufgabe 5 (1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 2 Punkte)
Beweisen Sie Lemma VI.1 der Vorlesung:
Sei X ein normierter Vektorraum über dem Körper Φ ∈ {R, C} und M ⊂ X ein Unterraum. Dann gilt:
a) EM [ f ] ≤ k f kX für alle f ∈ X.
b) EM [ f1 + f2 ] ≤ EM [ f1 ] + EM [ f2 ] für alle f1 , f2 ∈ X.
c) EM [α f ] = |α|EM [ f ] für f ∈ X und α ∈ Φ.
d) EM [ f + g] = EM [ f ] für f ∈ X und g ∈ M.
e) EM [ f1 + α f2 ] ist eine stetige Funktion von α ∈ Φ bei festen f1 , f2 ∈ X.
f) EM [ f1 + α f2 ] ist eine konvexe Funktion von α ∈ R bei festen f1 , f2 ∈ X.
g) Ist f2 ∈ X mit EM [ f2 ] > 0, so gilt lim EM [ f1 + α f2 ] = ∞ für alle f1 ∈ X.
|α|→∞
Aufgabe 6 (1 + 4 Punkte)
Sei c0 der Vektorraum aller komplexen Nullfolgen x = (x j ) j≥1 versehen mit der Norm kxk := sup |x j |.
j∈N
Zeigen Sie:
−j
a) Die Menge M := {x ∈ c0 ; ∑∞
j=1 2 x j = 0} ist ein Untervektorraum von c0 .
b) Zu beliebigem y ∈ c0 \ M existiert kein Element bester Approximation aus M. (Literatur: E. W.
Cheney, S. 21)