Einführung in die Geometrische Analysis

Einführung in die Geometrische Analysis
(SoSe 2015)
6. Übungsblatt
Abgabe: 29.05.2015 in der Übung
Aufgabe 1
Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum und f : V → V linear. Zeigen Sie
f ∗ ϕ = det(f )ϕ
für alle ϕ ∈
Vn
V ∗.
Aufgabe 2
V
Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum. Eine r-Form α ∈ r V ∗ heißt zerlegbar, falls
α1 , . . . , αr ∈ V ∗ existieren mit α = α1 ∧ . . . ∧ αr . Zeigen Sie:
V
(a) Ist α ∈ r V ∗ zerlegbar, so gilt α ∧ α = 0.
V
(b) Sei α ∈ 2 V ∗ mit α ∧ α = 0. Dann ist α zelegbar.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst die Fälle n = 1, 2, 3 separat. Machen Sie dann eine
Induktion nach n. Wählen Sie dazu eine Basis (ε1 , . . . , εn ) von V ∗ und zerlegen α in den
Anteil, der εn enthält, und den Rest. Nutzen Sie dann α ∧ α = 0. Sie dürfen verwenden,
dass für ψ 1 , . . . , ψ p ∈ V ∗ die Form ψ 1 ∧. . .∧ψ p genau dann gleich Null ist, wenn ψ 1 , . . . , ψ p
linear abhängig sind. (Warum gilt das?)
Aufgabe 3
Ein einfaches thermodynamisches System (z.B. ein ideales Gas) wird durch sein Volumen V und
seine Temperatur T gekennzeichnet (V, T ∈ R). Der Zustand eines solchen Systems wird dann
durch den Druck p := p(V, T ) und die innere Energie E := E(V, T ) beschrieben. Nach dem 2.
Hauptsatz der Thermodynamik besitzt das System eine weitere Zustandsfunktion S := S(V, T ),
die Entropie, deren Differential durch
dS :=
dE + p dV
,
T
T > 0,
gegeben ist. Zeigen Sie:
(a) Zwischen E und p besteht die Beziehung
∂E
∂p
=T
− p.
∂V
∂T
Prof. Dr. Roland Griesmaier • Dipl.-Math. Christian Schmiedecke
Julius-Maximilians-Universität • Institut für Mathematik • Emil-Fischer-Str. 30 • 97074 Würzburg
www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼griesmaier/teaching/GeometrischeAnalysis2015.html
(b) Die innere Energie eines idealen Gases, das der Zustandsgleichung pV = RT (mit der
universellen Gaskonstanten R ∈ R) genügt, ist vom Volumen unabhängig.
(c) Bei einem Van-der-Waals-Gas, das der Zustandsgleichung
a p + 2 (V − b) = cT,
a, b, c ∈ R \ {0},
V
genügt, ist die innere Energie volumenabhängig.
Aufgabe 4
(a) Man berechne die äußere Ableitung von
dα ∧ β ∧ γ + α ∧ dβ ∧ γ + α ∧ β ∧ dγ
für Differentialformen α, β, γ, wobei α und β geraden Grad haben mögen.
(b) Durch
α = 2xz dy ∧ dz + dz ∧ dx − (z 2 + ex ) dx ∧ dy
ist eine exakte Differentialform auf dem R3 gegeben. Bestimmen Sie eine 1-Form β mit
dβ = α.
Prof. Dr. Roland Griesmaier • Dipl.-Math. Christian Schmiedecke
Julius-Maximilians-Universität • Institut für Mathematik • Emil-Fischer-Str. 30 • 97074 Würzburg
www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼griesmaier/teaching/GeometrischeAnalysis2015.html