Liouvillesche, berechenbare, Borel normale und Martin

Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Liouvillesche, berechenbare, Borel normale und
Martin-Löf zufällige Zahlen
Georg-Cantor-Vorlesung
der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
gehalten von Ludwig Staiger
am 2. Juni zu Halle
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Inhalt
1
Einleitung
Notation
Algebraische und transzendente Zahlen
2
Klassen reeller Zahlen
Berechenbare Zahlen
Liouvillesche Zahlen
Borel normale Zahlen
3
Algorithmische Zufälligkeit
Spielstrategien
Zufällige Zahlen
4
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Borel Normalität von Liouvilleschen Zahlen
Zahlen, die nicht Liouvillesch sind
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Reelle Zahlen und b-näre Entwicklungen I
Basis:
b-näre Entwicklung:
b ∈ N, b ≥ 2
α = 0.x,
x = x1 x2 · · · xi · · · ∈ Aω
b , α ∈ [0, 1]
−i
α = ∑∞
i = 1 xi · b
Eigenschaft
Es sei b ∈ N, b ≥ 2.
ã Jede reelle Zahl α hat mindestens eine und höchstens zwei b-näre
Entwicklungen.
ã Hat α ∈ R zwei b-näre Entwicklungen so gilt α = m · b−n mit
m ∈ Z und n ∈ N.
ã Jede irrationale Zahl α hat genau eine b-näre Entwicklung.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Reelle Zahlen und b-näre Entwicklungen II
Cantorsches Diagonalverfahren
b-näre Entwicklungen wurden von Cantor beim Beweis der
Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen benutzt.
Dieses Diagonalverfahren wurde auf viele verschiedene Probleme
verallgemeinert
ã |M | < |2M |
ã Unentscheidbarkeit des Halteproblems
ã Hierarchiesätze in der Komplexitätstheorie . . . etc
Gleichmächtigkeit von Gerade und Quadrat
Die Gleichmächtigkeit von (0, 1] und (0, 1] × (0, 1] kann direkt durch
Manipulation der b-nären Entwicklungen reeller Zahlen eingesehen
werden.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Notation: Zeichenketten und Sprachen
Endliches Alphabet Ab = {0, . . . , b − 1}, |Ab | = b
Endliche Zeichenketten (Wörter) w = x1 · · · xn ∈ A∗b , xi ∈ Ab
Länge
|w | = n
Sprachen
W ⊆ A∗b
Unendliche Wörter (ω-Wörter)
x = x1 · · · xn · · · ∈ Aω
b
x : N \ {0} → Ab
Präfixe unendlicher Wörter xn ∈ A∗b , xn = n
ω-Sprachen F ⊆ Aω
b
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Algebraische Zahlen
Definition (Algebraische Zahl)
Eine reelle Zahl α heißt algebraisch falls sie Nullstelle eines Polynoms
P (z ) = ∑ni=0 pi · z i mit ganzzahligen Koeffizienten p0 , . . . , pn ist.
Ist das Polynom P (z ) irreduzibel über Q und ist pn 6= 0, so nennt man α
algebraisch vom Grad n.
Ist α ∈ R nicht algebraisch, so heißt α transzendent.
Satz (Cantor)
Es gibt nur abzählbar viele algebraische Zahlen.
Korollar
Es gibt transzendente Zahlen.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Transzendente Zahlen
Satz (Liouville 1844)
Ist α eine irrationale algebraische Zahl vom Grad n, so gibt es eine reelle
p
Zahl cα > 0 derart, dass für alle rationalen Zahlen q die Beziehung
p
1
|α − | ≥ cα · n gilt.
q
q
Beispiel
n
−i ! ist nicht algebraisch: p =
α = ∑∞
∑ 2n !−i ! , q = 2n !
i =0 2
i =0
n
−i !
|α − ∑ 2
i =0
n
n !−i ! 2
∑
i
=
0
=
| = α −
n!
2
∞
∑
i =n+1
2−i ! <
1
2(n+1) !−1
≤
1
(2n ! )n
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Berechenbare Zahlen
Definition (Berechenbare Zahl)
Eine reelle Zahl α ist genau dann berechenbar, wenn es eine
berechenbare Funktion f : N → Z × N derart gibt, daß für alle n ∈ N
p
|α − | ≤ 2−n gilt, falls f (n) = (p, q ) .
q
Eigenschaft
ã Eine reelle Zahl α ist genau dann berechenbar, wenn
· sie für ein b eine berechenbare (als Funktion x : N \ {0} → Ab )
b-näre Entwicklung hat, oder
· für alle b ∈ N, b ≥ 2, ihre b-nären Entwicklungen berechenbar sind.
ã Algebraische Zahlen sind berechenbar.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Links-berechenbare Zahlen
Definition (Links-berechenbare Zahl)
Eine reelle Zahl α ist genau dann links-berechenbar, wenn es eine
berechenbare Funktion g : N → Q derart gibt, daß für alle n ∈ N
¬ g (n) ≤ g (n + 1) ≤ α, und
­ lim g (n) = α gelten.
n→∞
Eigenschaft
ã Jede berechenbare reelle Zahl ist links-berechenbar.
ã Es gibt nicht berechenbare links-berechenbare reelle Zahlen.
ã Eine reelle Zahl ist genau dann berechenbar, wenn sie sowohl
links- als auch rechts-berechenbar ist.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Liouvillesche Zahlen
Definition (Liouvillesche Zahl)
Eine reelle Zahl α wird Liouvillesche Zahl genannt, wenn sie irrational ist
und für jede natürliche Zahl
k ganze
Zahlen pk und qk > 1 mit
p
1
k
α − <
existieren.
qk qkk
Beispiel (Wiederholung)
∞
α=
∑ 2−n ! ist Liouvillesche Zahl.
n=0
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Irrationalitätsmaß
Definition (Irrationalitätsmaß)
Der Irrationalitätsmaß einer reellen Zahl α ist ein Maß dafür, wie „gut“ α
durch rationale Zahlen angenähert werden kann:
p 1
inf µ ≥ 0 : α − < µ hat nur endlich viele Lösungen p, q ∈ Z \{0} .
q
q
Somit sind Liouvillesche Zahlen jene reellen Zahlen mit unendlichem
Irrationalitätsmaß.
siehe auch: http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Irrationalitätsmaße von Zahlen
Satz
ã Rationale Zahlen haben das Irrationalitätsmaß 1.
ã Irrationale Zahlen α haben ein Irrationalitätsmaß 2 ≤ µ(α) ≤ ∞.
Satz (Roth 1955)
Alle irrationalen algebraischen Zahlen α haben das Irrationalitätsmaß
µ(α) = 2.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Borel normale Zahlen
Definition (Borel Normalität zur Basis b)
Eine reelle Zahl α ∈ [0, 1] ist genau dann Borel normal zur Basis b,
wenn jedes Wort w ∈ A`b der Länge ` mit der gleichen Häufigkeit als
Teilwort in der b-nären Entwicklung x von α auftritt, das heißt, für x ∈ Aω
b
mit α = 0.x gilt
lim
n→∞
|{i : 1 ≤ i ≤ n ∧ xi ∈ A∗b · w }|
n
= b−|w | .
Definition (Absolute Borel Normalität)
Eine reelle Zahl α ist absolut Borel normal, wenn sie Borel normal zu
jeder Basis ist.
siehe auch: http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Zahlen, die Borel normal zur Basis b sind
Definition (De Bruijn Wörter)
Ein de Bruijn Wort B ∈ A∗b der Ordnung k ist ein kürzestes Wort,
welches in zyklischer Form alle Wörter der Länge k als Teilwörter hat.
B (b, k ) ist das erste Wort (in lexikographischer Ordnung), welches in
zyklischer Form alle Wörter aus Akb als Teilwörter hat.
Beispiel (De Bruijn Wörter)
ã B (2, 2) = 0011 und B (2, 3) = 00010111 sind binäre de Bruijn
Wörter der Ordnung 2 bzw. 3, und
ã B (3, 2) = 001021122 ist ternäres de Bruijn Wort der Ordnung 2.
0011, 0011, 0011, 0011
Eigenschaft
|B (b, k )| = bk
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
De Bruijn Wörter: Eulersche Kreise in De Bruijn Graphen
Kante im Graphen
für B (2, 4):
abc
d
−→
bcd
a, b, c, d ∈ {0, 1}
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Liouvillesche Zahlen die Borel normal zur Basis b sind
Wir setzen für f : N → N \ {0} und W := (wi )i ∈N , |wi | > 0.
xf (W ) := w1 · · · w1 · w2 · · · w2 · · · · · wi · · · wi · · · ·
| {z } | {z }
f (1)mal
f (2)mal
| {z }
f (i )mal
Proposition (Maillet 1904; Nandakumar & Vangapelli 2014)
Ist f (i ) ≥ i i , so
¬ ist 0.xf (W ) eine Liouvillesche Zahl, und
­ ist darüber hinaus wi = B (b, i ), so ist 0.xf (W ) Borel normal zur
Basis b.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Borel Normalität: Basisunabhängigkeit
Satz (Cassels 1959, Schmidt 1960)
Es gibt b, r ∈ N und α ∈ R derart, dass α normal zur Basis b, aber nicht
normal zur Basis r ist.
Satz (Borel 1909)
Es gibt absolut Borel normale Zahlen.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Paradigma der Unvorhersagbarkeit
Ein ω-Wort ist genau dann zufällig, wenn keine konstruktive
Vorhersagestrategie gegen es gewinnen kann.
Unser Modell:
ã Spiel gegen ein ω-Wort x ∈ Aω
b.
ã Spielstrategie Γ : A∗b × Ab → [0, 1], wobei
∑x ∈Ab Γ(w , x ) ≤ 1 für w ∈ A∗b
(Wette auf das Ergebnis x ∈ Ab , falls bisher w ∈ A∗b „gezogen“ wurde)
ã VΓ (xn) ist das Kapital nach der n ten Runde, d.h.
VΓ (xn + 1) = b · Γ(xn, x ) · VΓ (xn), für x(n + 1) = x
ã ergibt ein Supermartingal VΓ : A∗b → R+ , d.h.
VΓ (xn) ≥ b1 · ∑x ∈Ab VΓ ((xn) · x )
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Spielstrategien: Martingale V : A∗b → R+
Definition (Supermartingal)
b · VΓ (w ) ≥
∑x ∈A
b
VΓ (wx )
Eigenschaft
ã 0 ≤ VΓ (w ) ≤ b|w |
ã Ist kein Wort der Menge W ⊆ A∗b Präfix eines anderen, so gilt
∑
w ∈W
b−|w | · VΓ (w ) ≤ VΓ (e) .
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Spielstrategien: Martingale V : {0, 1}∗ → R+
V (0) V (e )
HH
HH
H
@
V (00)
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
C
C
@
@
@ V (01)
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
C
C
V (1)
@
@
@
V (10)
@ V (11)
A
A
A
A
A
A
AV (111)
A
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
HH
H
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Zufälligkeit
Satz (Levin 1970)
Für jedes Ab gibt es ein optimales links berechenbares (approximierbar
von unten) Supermartingal U : A∗b → R+ , m.a.W., zu jedem links
berechenbaren Supermartingal V : A∗b → R+ gibt es eine Konstante
cV > 0 derart, dass
∀w w ∈ A∗b → U (w ) ≥ cV · V (w ) .
Definition (Martin-Löf Zufälligkeit)
x ∈ Aω
b ist Martin-Löf zufällig, falls keine berechenbare Spielstrategie Γ
gegen x gewinnen kann, genauer, falls lim sup U (xn) < ∞.
n→∞
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Partielle Zufälligkeit: Definition
Partielle Zufälligkeit versucht, für x ∈ Ab ω den größten Exponenten γ, der
U (xn) ≈ bγ·n+o(n) .
erfüllt, zu messen.
Genauer,
κ(x) = 1 − γ : ⇐⇒
0
für γ0 < γ , und
0
für γ0 > γ .
U (xn) ≥i .o.
bγ ·n+o(n)
U (xn)
bγ ·n+o(n)
≤
Eigenschaft
κ(x) = lim inf
n→∞
n − logb U (xn)
n
∈ [0, 1]
Man beachte
Je höher der Wert κ(x), desto „zufälliger “ das ω-Wort x.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Partielle Zufälligkeit: Beispiele
Beispiel (Dilution)
Wir setzen y := x1 00x2 00 · · · xi 00 · · · für x = x1 x2 · · · xi · · · ∈ Aω
b.
Dann gelten U (y3n) ≈ b 2n · U (xn) und κ(y) =
1
3
· κ(x).
Beispiel (Nicht-zufällige ω-Wörter mit κ(x) = 1)
Für Martin-Löf zufälliges x = x1 x2 · · · xi · · · ∈ Aω
b setzen wir
y(i ) :=
0
x(i )
Dann ist U (y2n ) ≥ c · bn .
falls i ∈ {2n : n ∈ N}, und
anderenfalls.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Partielle Zufälligkeit: Basisunabhängigkeit
Satz (Calude & Jürgensen 1995, Hertling & Weihrauch 2003, St. 2002)
ω
Sind x ∈ Aω
b , y ∈ Ar und 0.x = 0.y, so ist x genau dann zufällig,
wenn y zufällig ist.
Satz (St. 2002)
ω
Es seien x ∈ Aω
b und y ∈ Ar und 0.x = 0.y.
Dann gilt κ(x) = κ(y).
Eigenschaft
¬ Ist x ∈ Aω
b berechenbar, so ist κ(x) = 0.
­ Ist x ∈ Aω
b zufällig, so ist κ(x) = 1.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Partielle Zufälligkeit: Weitere Beziehungen
Satz (Kolmogorov 1968; St. 2002)
¬ Ist κ(x) = 1, dann ist α = 0.x absolut Borel normal.
­ Ist α Liouvillesche Zahl und x ihre b-näre Entwicklung, so gilt
κ(x) = 0.
Satz (Calude & St. 2015; Jarník 1929, Ryabko 1986)
Hat α ∈ [0, 1] das Irrationalitätsmaß µ(α) und ist x die b-näre
Entwicklung von α, so gilt κ(x) ≤ 2/µ(α).
Außerdem gibt es zu jedem µ ∈ [2, ∞] ein α ∈ [0, 1] mit
Irrationalitätsmaß µ(α) = µ derart, daß κ(x) = 2/µ für die b-näre
Entwicklung x von α erüllt ist.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Literatur: Algorithmische Zufälligkeit
• Calude, C.S.: Information und Randomness. An Algorithmic
Perspective, 2nd ed., Springer, Berlin (2002).
• Downey, R., Hirschfeldt D.: Algorithmic Randomness und
Complexity, Springer, Heidelberg (2010).
• Li, M., Vitányi, P.M.B.: An Introduction to Kolmogorov Complexity
und Its Applications, Springer, Berlin (1993).
• Nies, A.: Computability und Randomness, Oxford Univ. Press,
Oxford (2009).
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Eigenschaft
ã Martin-Löf zufällige Zahlen sind absolut Borel normal (Z ⊆ N ).
ã Die Mengen der Martin-Löf zufälligen Zahlen und berechenbaren
Zahlen sind disjunkt (Z ∩ C = 0/ ).
ã Die Mengen der Martin-Löf zufälligen Zahlen und Liouvilleschen
Zahlen sind disjunkt (Z ∩ L = 0/ ).
ê Die folgenden sieben der 16 Booleschen Kombinationen sind leer:
L̄ ∩ C̄ ∩ N̄ ∩ Z , L̄ ∩ C ∩ N̄ ∩ Z , L ∩ C̄ ∩ N̄ ∩ Z , L ∩ C ∩ N̄ ∩ Z ,
L̄ ∩ C ∩ N ∩ Z , L ∩ C ∩ N ∩ Z und L ∩ C̄ ∩ N ∩ Z .
Frage
Was ist mit den restlichen neun Kombinationen?
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Borel Normalität von Liouvilleschen Zahlen
Satz (Bugeaud 2002)
Es gibt überabzählbar viele absolut Borel normale Liouvillesche Zahlen,
und es gibt überabzählbar viele Liouvillesche Zahlen, die nicht normal
zu jeder Basis sind.
Satz (Becher, Heiber & Slaman 2014)
Es gibt berechenbare absolut Borel normale Liouvillesche Zahlen.
Satz (Martin 2001)
Es gibt eine berechenbare Liouvillesche Zahl, die nicht normal zu jeder
Basis ist.
ê Die Kombinationen L ∩ C̄ ∩ N ∩ Z̄ , L ∩ C̄ ∩ N̄ ∩ Z̄ ,
L ∩ C ∩ N ∩ Z̄ und L ∩ C ∩ N̄ ∩ Z̄ sind sämtlich nicht leer.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Ergebnisse für nicht berechenbare Zahlen I
Eigenschaft
Zufällige Zahlen sind Borel normal aber weder berechenbar noch
Liouvillesch.
Beispiel (Dilution (Fortsetzung))
Es sei x = x1 x2 · · · xi · · · ∈ Aω
b Martin-Löf zufällig und
y := x1 00x2 00 · · · xi 00 · · · . Dann gilt 0 < κ(y) = 13 < 1.
Daher ist 0.y weder berechenbar noch eine Liouvillesche Zahl.
Offensichtlich ist 0.y auch nicht normal.
ê Die Kombinationen L̄ ∩ C̄ ∩ N ∩ Z und L̄ ∩ C̄ ∩ N̄ ∩ Z̄ sind nicht
leer.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Ergebnisse für nicht berechenbare Zahlen II
Beispiel (Nicht-zufällige ω-Wörter mit κ(x) = 1 (Fortsetzung))
Es seien x = x1 x2 · · · xi · · · ∈ Aω
b Martin-Löf zufällig und
y(i ) :=
0
x(i )
if i ∈ {2n : n ∈ N}, und
anderenfalls.
α = 0.y ist nicht Martin-Löf zufällig, wegen κ(y) = 1 aber absolut Borel
normal, und, wie im vorhergehenden Beispiel, ist α weder berechenbar
noch eine Liouvillesche Zahl.
ê Die Kombination L̄ ∩ C̄ ∩ N ∩ Z̄ ist nicht leer.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Ergebnisse für berechenbare Zahlen
Beispiel (Knight 1991)
Jede rationale Zahl ist berechenbar, aber weder Liouvillesch noch
normal.
i
−2 ist weder Liouvillesch
Die berechenbare irrationale Zahl αb = ∑∞
i =0 b
noch normal zur Basis b.
Es ist ein offenes Problem, ob es berechenbare absolut Borel normale,
nicht Liouvillesche Zahlen gibt.
Satz (Coons 2013)
i
−k · k −i (wobei
Die Stoneham Zahl F (1/2) = ∑∞
i =1 2
k ∈ N ungerade , k ≥ 3 ) ist berechenbar, normal zur Basis 2 (aber nicht
zur Basis 6), und hat das Irrationalitätsmaß µ(F (1/2)) = k < ∞.
ê Die Kombination L̄ ∩ C ∩ N̄ ∩ Z̄ ist nicht leer, und
die Kombination L̄ ∩ C ∩ N ∩ Z̄ könnte nicht leer sein.
Einleitung
Klassen reeller Zahlen
Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Vortragsmanuskript
Das Vortragsmanuskript ist erhältlich als:
Cristian S. Calude and Ludwig Staiger,
Liouville numbers, Borel normality and Martin-Löf-randomness
Research Report 448 (2013) des Centre for Discrete Mathematics and
Theoretical Computer Science unter
https://www.cs.auckland.ac.nz/research/groups/
CDMTCS/researchreports/index.php?date&open=18
bzw. auf der Seite
http://www.informatik.uni-halle.de/arbeitsgruppen/theorie/publikationen/cdmtcs/
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Algorithmische Zufälligkeit
Die Beziehungen zwischen den Klassen reeller Zahlen
Vielen Dank