Serie 4 - Folgen und Reihen - D-MATH

Analysis D-BAUG
Dr. Meike Akveld
HS 2015
Serie 4 - Folgen und Reihen
1. Untersuchen Sie die nachstehenden Zahlenfolgen. Sind sie beschränkt? Sind sie monoton? Konvergieren sie, und falls ja, wie lautet ihr Grenzwert?
a) an = cos πn
3
b) an =
c) an =
1
+ n22 + n32
n2
3n4 −5n2 +2
7n4 −4n3
+ ··· +
n−1
n2
+
n
n2
d) a1 = 0, a2 = 1, an = 12 (an−1 + an−2 ) für n ≥ 3
√
√
e) an = n + 1 − n
p
f) an = (n + 1)n − n
2. a) Sei an = a1 + (n − 1)d mit a1 ∈ R eine arithmetischeP
Folge reeller Zahlen. Finden
Sie eine explizite Formel für die n-te Partialsumme ni=1 ai einer arithmetischen
Reihe.
b) Sei an = a1 q n−1 mit a1 ∈ R eine geometrische Folge reeller Zahlen mit |q| < 1.
Zeigen Sie: {an } konvergiert gegen 0.
3. (Die Eulersche Zahl) Wir definieren zwei Folgen {an } und {bn } durch
1 n
an := 1 +
n
und
1 −n
.
bn := 1 −
n
bn = (1 − n1 )−n
b
b
e
b
b
bc
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
|
|
an = (1 + n1 )n
|
|
|
|
|
|
|
|
Ziel dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass diese beiden Folgen gegen denselben Grenzwert
konvergieren. Dieser wird in der Vorlesung e, die Eulersche Zahl, genannt werden.
a) Zeigen Sie
bn+1 = an
1
1+
n
.
b) Zeigen Sie mit der Ungleichung von Bernoulli (siehe Serie 2, Aufgabe 1), dass
an
1
≥1−
bn
n
und folgern Sie, dass die Folge {an } monoton wächst.
1
c) Zeigen Sie auf ähnliche Weise, dass {bn } monoton fällt.
d) Folgern Sie, dass
lim an = lim bn .
n→∞
n→∞
4. Untersuchen Sie die Konvergenz folgender Reihen:
a)
b)
c)
d)
e)
P∞
√
3k+5
3k
P∞ 1+2k
k=1 k+3k
P∞ k!
k=1 kk
P∞ k−√k
√
k=1 (k+ k)2
k=1
P∞
k=1
ln (k−1 +7) cos (kπ)
√
k+π
2