12.02.04, Bearbeitungszeit: 180 Minuten A

Name:
Vorname:
Studiengang:
Matr.-Nr.:
Prüfungsklausur Höhere Mathematik I“
”
12.02.04, Bearbeitungszeit:
180 Minuten
A
Aufgabe
Punkte
1
/6
2
3
4
/ 10
/ 10
/ 10
5
6
/8
Bonus
/6
P
/ 50
Wichtiger Hinweis:
Aussagen müssen begündet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine
Punkte vergeben.
Aufgabe 1.
a) Es sei ϕ ∈ R und i die imaginäre Einheit (i2 = −1). Welches Argument besitzt die komplexe Zahl
z = 3(cos(ϕ) − i sin(ϕ))(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ))?
b) Bestimmen Sie alle (komplexen) Lösungen der Gleichung
x3 + 27i = 0.
c) Skizzieren Sie die Teilmenge der komplexen Ebene, deren Elemente z durch
|z(1 − i)|2 < 2
charakterisiert sind.
Aufgabe 2.
a) Gibt es eine beschränkte Folge {an }n∈N positiver reeller Zahlen, die nicht konvergiert?
b) Gibt es eine Nullfolge {bn }n∈N positiver reeller Zahlen, die nicht monoton fällt?
c) Gibt es eine Nullfolge {cn }n∈N positiver reeller Zahlen, die nicht beschränkt ist?
d) Gibt es eine monoton fallende Folge {dn }n∈N positiver reeller Zahlen, die nicht konvergiert?
Hinweis: Geben Sie in jeder der vier Teilaufgaben entweder eine Folge an, die die gewünschten Eigenschaften
besitzt (mit Begründung), oder zeigen Sie mit Hilfe von Sätzen der Vorlesung, dass keine Folge mit den gewünschten
Eigenschaften existiert.
1
Aufgabe 3.
Gegeben ist die Matrix

−1
2
−1
0
1
 −1

A=
0
0
0
−1
2
−1

0
0 
 ∈ R4×4 .
−1 
1
a) Bestimmen Sie das Bild R(A) von A und den Defekt def(A) von A, also die Dimension des Nullraums von A.
b) Bestimmen Sie die Determinante det(A) von A.
c) Bestimmen Sie einen Vektor x ∈ R4 mit x 6= 0 und x ⊥ y für alle y ∈ R(A).
Aufgabe 4.
Bestimmen Sie eine Ebene E im R3 , die mit der Ebene

F :
2
−1
7

x−1
 y =0
z−2
die Schnittgerade




4
1
g :  −1  + λ  2 
1
0
(λ ∈ R)
bildet, und die zum Punkt


1
P : 1 
2
den Abstand d = 1 besitzt.
Hinweis: Setzen Sie die gesuchte Ebene in der Form n T (x − p) = 0 an mit unbekannten Vektoren
n = [n1 , n2 , n3 ]T , n21 + n22 + n23 = 1, und p = [p1 , p2 , p3 ]T .
Aufgabe 5.
a) Wie muss man die reellen Zahlen α und β wählen, damit die Funktion


x ln(x),
f : R → R, x 7→ f (x) = α,


β sin(x)/x,
x > 0,
x = 0,
x < 0,
in R stetig ist?
b) Bestimmen Sie ein Polynom p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + α3 x3 , so dass die Funktion

x

x ≤ 0,
e ,
f (x) = p(x),
0 < x < 1,


0,
x ≥ 1,
für jedes x ∈ R differenzierbar ist.
r
Aufgabe 6.
Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang U des Querschnitts sei fest vorgegeben. Für welchen Radius r wird der
Flächeninhalt des Querschnitts am größten?
2
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”
12.02.04, Bearbeitungszeit:
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B
Aufgabe
Punkte
1
/6
2
3
4
/ 10
/ 10
/ 10
5
6
/8
Bonus
/6
P
/ 50
Wichtiger Hinweis:
Aussagen müssen begündet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine
Punkte vergeben.
Aufgabe 1.
a) Es sei ϕ ∈ R und i die imaginäre Einheit (i2 = −1). Welches Argument besitzt die komplexe Zahl
z = 3(cos(2ϕ) − i sin(2ϕ))(cos(2ϕ) + i sin(2ϕ))?
b) Bestimmen Sie alle (komplexen) Lösungen der Gleichung
x3 + 64 = 0.
c) Skizzieren Sie die Teilmenge der komplexen Ebene, deren Elemente z durch
|z(2 + i)|2 ≤ 5
charakterisiert sind.
Aufgabe 2.
a) Gibt es eine beschränkte Folge {an }n∈N negativer reeller Zahlen, die nicht konvergiert?
b) Gibt es eine Nullfolge {bn }n∈N negativer reeller Zahlen, die nicht monoton wächst?
c) Gibt es eine Nullfolge {cn }n∈N negativer reeller Zahlen, die nicht beschränkt ist?
d) Gibt es eine monoton wachsende Folge {dn }n∈N negativer reeller Zahlen, die nicht konvergiert?
Hinweis: Geben Sie in jeder der vier Teilaufgaben entweder eine Folge an, die die gewünschten Eigenschaften
besitzt (mit Begründung), oder zeigen Sie mit Hilfe von Sätzen der Vorlesung, dass keine Folge mit den gewünschten
Eigenschaften existiert.
1
Aufgabe 3.
Gegeben ist die Matrix


1
0
0 −1
 −1
2 −1
0 
 ∈ R4×4 .
A=
 0 −1
2 −1 
−1
0
0
1
a) Bestimmen Sie das Bild R(A) von A und den Defekt def(A) von A, also die Dimension des Nullraums von A.
b) Bestimmen Sie die Determinante det(A) von A.
c) Bestimmen Sie einen Vektor x ∈ R4 mit x 6= 0 und x ⊥ y für alle y ∈ R(A).
Aufgabe 4.
Bestimmen Sie eine Ebene E im R3 , die mit der Ebene

F :
−2
1
−7

x−8
 y =0
z
die Schnittgerade




3
1
g :  −3  + λ  2 
1
0
(λ ∈ R)
bildet, und die zum Punkt

1
P : 1 
2

den Abstand d = 1 besitzt.
Hinweis: Setzen Sie die gesuchte Ebene in der Form n T (x − p) = 0 an mit unbekannten Vektoren
n = [n1 , n2 , n3 ]T , n21 + n22 + n23 = 1, und p = [p1 , p2 , p3 ]T .
Aufgabe 5.
a) Wie muss man die reellen Zahlen α und β wählen, damit die Funktion

x

(e − 1)/x,
f : R → R, x 7→ f (x) = α,


β + (cos(x) − 1)/x,
x > 0,
x = 0,
x < 0,
in R stetig ist?
b) Bestimmen Sie ein Polynom p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + α3 x3 , so dass die Funktion


x ≤ −1,
1,
f (x) = p(x),
−1 < x < 0,

 x
e ,
x ≥ 0,
für jedes x ∈ R differenzierbar ist.
Aufgabe 6.
Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem gleichseitigen Dreieck. Der Umfang U
des Querschnitts sei fest vorgegeben. Für welche Seitenlänge
s wird der Flächeninhalt des Querschnitts am größten?
2
s