8. Übung zur Analysis I im WS 2013/14

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Patrizio Neff
Christian Thiel
03.12.2013
8. Übung zur Analysis I im WS 2013/14
Präsenzaufgabe 1:
Geben Sie jeweils eine Folge mit den folgenden Eigenschaften an oder beweisen Sie, dass eine solche Folge nicht
existiert:
i) Eine monoton wachsende reelle Folge mit zwei Häufungswerten.
ii) Eine Folge, die genau die natürlichen Zahlen N als Häufungswerte hat.
iii) Eine Folge, die genau die rationalen Zahlen Q als Häufungswerte hat.
Präsenzaufgabe 2:
Beweisen Sie mithilfe der Definition, dass die Folge (an )n∈N mit an :=
n
n+1
eine Cauchyfolge ist.
Präsenzaufgabe 3:
Laut Vorlesung konvergieren beschränkte monotone Folgen. Diese Aussage lässt sich noch verallgemeinern:
a) Es sei (an )n∈N eine Folge in R, die aus zwei gegensinnnig monotonen Teilfolgen besteht in dem Sinne, dass
(a2k )k∈N monoton wachsend und (a2k−1 )k∈N monoton fallend ist. Außerdem gelte limk→∞ a2k − a2k−1 = 0.
Beweisen Sie: (an )n∈N ist konvergent.
b) Zeigen Sie mit diesem Kriterium, dass die durch
sn :=
n
X
(−1)k−1
k=1
k
,
n∈N
gegebene Folge konvergiert.
Präsenzaufgabe 4:
Beweisen Sie:
i) lim inf an = sup inf aj ,
n→∞
n∈N j>n
ii) lim sup an = inf sup aj .
n→∞
n∈N j>n
Präsenzaufgabe 5:
Seien a, b positive reellen Zahlen. Beweisen Sie für die nachstehenden Folgen, ob sie konvergieren. Im Falle der
Konvergenz, versuchen Sie ihren Grenzwert zu bestimmen.
a) an :=
c) cn :=
√
n
a
n
X
2k+3
k=1
e) en :=
√
n
4k
b) bn :=
n
X
i
n2
i=1
d) dn :=
n
X
1
k!
k=1
r
a n + bn
f) fn :=
−
n
2n + 1
3n
!3n
Präsenzaufgabe 6:
Bestimmen Sie für die Folgen aus Aufgabe 5 die Menge der Häufungspunkte. Geben Sie, sofern sie existieren, Limes
inferior und Limes superior der Folgen an.
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Hausübungen
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Seien a, b positive reellen Zahlen und seien xk ∈ {0, 1} für k ∈ N. Beweisen Sie für die nachstehenden Folgen, ob sie
konvergieren. Im Falle der Konvergenz, versuchen Sie ihren Grenzwert zu bestimmen.
a) an :=
√
n
n
b) bn :=
n+1
X
k=2
(a + b)n
c) cn := n
a + bn
n k
X
1
e) en :=
(−1)xk
2
1
k2 − 1
(−1)n
− (−1)n
n
n
1−n
f) fn :=
n
d) dn :=
k=1
Wichtig: So wie angegeben handelt es sich beim a) bis f ) um Folgen. Sie dürfen zur Lösung der Aufgaben die
Kriterien für Konvergenz von Folgen verwenden, allerdings keine Reihenkriterien wie Quotientenkriterium oder
Wurzelkriterium!
Aufgabe 2: (3 Punkte)
Bestimmen Sie für die Folgen aus Aufgabe 1 die Menge der Häufungspunkte. Geben Sie, sofern sie existieren, Limes
inferior und Limes superior der Folgen an.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Gegeben sei eine beschränkte nichtnegative Folge (xn )n∈N . Dazu seien die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N definiert
durch
r
x n
xn
n
,
bn := n
.
an :=
n
n
a) Berechnen Sie den Grenzwert lim an .
n→∞
b) Welche Bedingungen muss die Folge (xn )n∈N erfüllen, damit die Folge (bn )n∈N konvergiert?
c) Bestimmen Sie die möglichen Grenzwerte von (bn )n∈N , also die Menge aller b ∈ R für die eine beschränkte
nichtnegative Folge (xn )n∈N existiert, so dass lim bn = b.
n→∞
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Sei 0 ≤ q < 1 und sei (xn )n∈N eine Folge mit
|xn+2 − xn+1 | < q · |xn+1 − xn |
für alle n ∈ N. Zeigen Sie: (xn )n∈N ist konvergent.
Aufgabe 5: (6 Punkte)
Betrachten Sie die rekursiv durch
x1 := 1 ,
xn+1 :=
1
,
1 + xn
n∈N
definierte Folge. Beweisen Sie mithilfe des Cauchy’schen Konvergenzkriteriums ihre Konvergenz und bestimmen Sie
den Grenzwert. Hinweis: Mit vollständiger Induktion (zeigen!) gilt für alle n und k:
|xn+k − xn |
≤
n−1
4
|xk+1 − x1 | .
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Abgabe: Bis Mittwoch, 11.12.2013, 18 Uhr, im Übungskasten im Foyer des WSC. Bitte benutzen Sie
für alle Hausaufgaben ausschließlich weißes Blankopapier, einseitig beschriftet in blau oder schwarz,
durchgehend nummeriert und links oben getackert. Bitte verwenden Sie keine Hefter, Ordner oder
Klarsichthüllen. Achten Sie auf Ihre Handschrift und Leserlichkeit. Für viele von Ihnen könnte es
sinnvoll sein mit Füller zu schreiben. Pro Hausübung gibt es 3 Zusatzpunkte für Ordnung, Handschrift
und Leserlichkeit.
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