Loesungsskizze

Prof. Dr. S. Sauter
Angewandte Mathematik
Universität Zürich
Analysis I
2. Übung
Abgabetermin: 28.09.2009 bis 13 Uhr
Aufgabe 5
Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N , (cn )n∈N und (dn )n∈N mit
3n2 + 5n
,
17n3 + 11n − 7
11
3
,
(c) cn := 2 +
n
n!
,
(n + 1)! − n!
√
√
(d) dn := n + 1 − n .
(a) an :=
(b) bn :=
Aufgabe 6
Bestimmen Sie Infimum und Supremum der folgenden Mengen. Welche dieser Mengen
besitzen ein minimales oder ein maximales Element?
)
(
)
(
x |x| (b)
(a)
x ∈ R ,
x > −1 ,
1 + |x|
1+x
(
)
(
)
1 1
(c)
x+ < x<2 ,
(d)
x ∈ R ∃ y ∈ R : (x + 1)2 + 5y 2 < 4 .
x 2
* Aufgabe 7
(a) Die Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N mit
n
X
1
xn :=
k!
und
k=0
n
1
yn := 1 +
n
konvergieren gegen die Eulersche Zahl e = 2, 71828182... Bestimmen Sie das kleinste
m, n ∈ N, so dass die folgenden Abschätzungen gelten:
|xm − e| ≤ 10−5
und
|yn − e| ≤ 10−5 .
(b) Betrachten Sie folgende “Approximation” einer Lösung der Gleichung x2 = 2 durch
rationale Zahlen: Wir definieren Zahlen an , bn für n ∈ N0 wie folgt:
a0 := 1, b0 := 2


 an+1 :=
an +bn
,
2

 a
n+1 := an ,
bn+1 := bn
bn+1 :=
an +bn
2
falls
(an +bn )2
4
<2
falls
(an +bn )2
4
> 2.
2
n)
(Warum kann der Fall (an +b
= 2 nicht auftreten?) Zeigen Sie nun durch Induktion,
4
dass für alle n ∈ N0 gilt:
(i) an , bn ∈ Q,
(ii) an < bn ,
(iii) a2n < 2,
(iv) b2n > 2,
(v) bn − an ≤ 2−n .
Bemerkung: Wenn wir uns die rationalen Zahlen auf einer Geraden angeordnet denken, zeigt obige Konstruktion, dass diese Gerade “Lücken” hat.