ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik

ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik
5. Aufgabenblatt vom 15.6.2012
Abgabe am Montag, 18.6.2012, vor der Vorlesung
Die Aufgaben 5 bis 9 sind einzeln zu bearbeiten und am Montag abzugeben, die
Aufgaben 1 bis 4 werden am Freitag im Tutorium besprochen.
Hinweis:
1. Aufgabe: Teilbarkeitsrelation
Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm für die Teilbarkeitsrelation auf der Zahlenmenge
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 48, 72}. Bestimmen Sie für folgende Teilmengen von A jeweils
alle maximalen und minimalen Elemente, alle oberen und unteren Schranken sowie alle
Suprema und Inma. Machen Sie gegebenenfalls auch kenntlich, dass kein entsprechendes Element existiert.
(a)
(b)
(c)
(d)
{2, 3, 4, 6}
{9, 48, 72}
{6, 12}
{48, 72}
2. Aufgabe: Eindeutigkeit des Supremums
(a) Beweisen Sie, dass für jede Halbordnung (A, ≤) und jede Teilmenge M ⊆ A höchstens ein Supremum von M existiert. Das heiÿt, das Supremum ist eindeutig, falls
es existiert.
(b) Betrachten Sie die Teilbarkeitsrelation | auf N und zwei natürliche Zahlen a, b.
Unter welchen Namen sind Supremum und Inmum bezüglich | von {a, b} noch
bekannt?
3. Aufgabe: Schranken in
R
Betrachten Sie die Ordnung (R, ≤) und bestimmen Sie alle maximalen und minimalen
Elemente, alle oberen und unteren Schranken sowie Supremum und Inmum für die
Teilmenge { 1i | 0 < i ∈ N}.
4. Aufgabe: Lexikographische Ordnung
Beweisen Sie, dass die lexikographische Ordnung ≤ auf A × B eine totale Ordnung ist,
wenn die zugrundeliegenden Ordnungen (A, ≤1 ) und (B, ≤2 ) ebenfalls totale Ordnungen
sind.
5. Aufgabe: Aussagenlogik
(4+2+4 Punkte)
(a) Vereinfachen Sie die Formel t Schritt für Schritt unter Verwendung der aus der
Vorlesung bekannten semantischen Äquivalenzen so weit wie möglich. Benennen
Sie dabei für jeden Schritt explizit die verwendete semantische Äquivalenz.
t = (¬q ∨ r) ∧ ¬(q ∨ p) ∧ ¬q
(b) Überprüfen Sie Ihre in Teil (a) gefundene Lösung mit einer Wertetabelle daraufhin,
ob sie tatsächlich semantisch äquivalent zur gegebenen Formel t ist.
(c) Konstruieren Sie mit Hilfe der Wertetabelle aus Teil (b) die kanonische DNF und
die kanonische KNF für die Interpretation ft des Terms t.
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(3+2+3 Punkte)
Wir betrachten die folgenden Prädikate:
6. Aufgabe: Quantoren
P (x, y, z) : x + y = z
Q(x, y, z) : x · y = z
Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen und begründen Sie Ihre Antwort wie im folgenden Beispiel: ∀x ∈ Z : ∀z ∈ Z : ∃y ∈ Z : P (x, y, z) ist wahr. Begründung: Seien x = a und z = b beliebige ganze Zahlen, dann wählen wir y = b − a ∈ Z
und erhalten mit P (a, b − a, b) wegen a + (b − a) = b eine wahre Aussage.
(a) ∃z ∈ Z : ∃x ∈ Z : ∀y ∈ Z : ¬P (x, 2y, z)
(b) ∀x ∈ Q : ∀z ∈ Q : ∃y ∈ Q : Q(x, y, z)
(c) ∀x ∈ Q : ∃y ∈ Q : ∃z ∈ Q : (x 6= 1 ⇒ P (x, y, z) ∧ Q(x, y, z))
(3+3+3 Punkte) Welche der folgenden Aussagen
stimmen für alle Mengen A, B , und C ? Beweisen Sie die Aussagen oder nden Sie
Mengen, die ein Gegenbeispiel liefern.
7. Aufgabe: Mengenoperationen
(a) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C)
(b) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (A ∪ C)
(c) (A ⊕ B) ⊕ B = A
(3+3+3 Punkte)
Untersuchen Sie die folgenden Relationen R, S, T ⊆ N×N hinsichtlich der Eigenschaften
Transitivität, Symmetrie und Antisymmetrie. Für positive Antworten muss eine Begründung gegeben werden, negative Antworten können durch konkrete Gegenbeispiele belegt
werden.
8. Aufgabe: Relationen
mRn ⇔ jeder Primteiler von m ist auch ein Teiler von n
mSn ⇔ m ist ein echter Teiler von n, d. h. m | n und m 6= n
mT n ⇔ die Summen aller Primzahlen, die m bzw. n teilen, sind gleich
(jeder Primteiler wird nur einfach gezählt)
(5 Punkte)
Sei M eine Menge und R eine binäre Relation in M . R heiÿt zirkulär, wenn für alle
x, y, z ∈ M gilt: xRy ∧ yRz ⇒ zRx. Zeigen Sie, dass eine reexive, zirkuläre Relation
stets eine Äquivalenzrelation ist.
9. Aufgabe: Äquivalenzrelationen
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