Analysis für Informatik - MA@TUM

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. S. Ober-Blöbaum
WS 2011/12
Blatt 1
Analysis für Informatik
Abgabe der Hausaufgaben bis 27.10.2011, 08:00 Uhr, Briefkasten im MI-Untergeschoss
Hausaufgabe 1 (8 P.)
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen jeweils in der Form a + ib mit a, b ∈ R dar:
−1
3
2
i
(a) 1 + 1i
(b) (1 + i)42
(c) 1+i
+ 2+i
(d) Bestimmen Sie außerdem alle komplexen Zahlen z = x + iy mit x, y ∈ R und z 3 = 1.
Hausaufgabe 2 (9 P.)
Beweisen Sie, dass die Menge A := {p ∈ Q : p2 < 2} ⊂ Q als Teilmenge des Körpers Q
kein Supremum hat (was zeigt, dass Q im Gegensatz zu R nicht die Supremumseigenschaft
besitzt). Gehen Sie dazu wie folgt vor:
1. Zeigen Sie, dass jedes q ∈ Q mit q > 0 und q 2 > 2 eine obere Schranke von A ist.
2. Zeigen Sie, dass es zu jeder Zahl q ∈ Q mit q > 0 und q 2 > 2 eine Zahl q̃ ∈ Q mit
0 < q̃ < q und q̃ 2 > 2 gibt.
3. Begründen Sie, warum aus 1. und 2. die Behauptung folgt.
Hinweis: Da in dieser Aufgabe der Körper Q betrachtet wird, können in den Beweisen
keine irrationalen Zahlen vorkommen.
Hausaufgabe 3 (3 P.)
Seien a und b positive reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass
√
a · b ≤ 21 (a + b).
Tutoraufgabe 1
Analog zu den Begriffen nach oben beschränkt“ und Supremum“ definiert man die
”
”
Begriffe nach unten beschränkt“ und Infimum“.
”
”
(a) Schreiben Sie die entsprechenden Definitionen formal auf.
(b) Besitzt in R jede nach unten beschränkte Menge ein Infimum?
n
: n ∈ N ⊂ R.
(c) Bestimmen Sie Supremum und Infimum der Menge M := n+1
Tutoraufgabe 2
Sei M eine Teilmenge von R. Wenn das Supremum von M ein Element von M ist, nennt
man es das Maximum von M ; Notation: max(M ). Finden Sie je ein Beispiel für
(a) eine Menge, die ein Maximum besitzt,
(b) eine nach oben beschränkte Menge, die kein Maximum besitzt,
Geben Sie jeweils auch das Supremum der betreffenden Menge an.
Bemerkung: Liegt das Infimum von M in M , so spricht man von einem Minimum.
Tutoraufgabe 3
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen jeweils in der Form a + ib mit a, b ∈ R dar:
2011
X
4
(a) (1 + 4i) · (2 − 3i)
(b)
(c)
in
2+i
n=1
Skizzieren Sie auch die Lage der Zahlen in der komplexen Zahlenebene.