technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , M ICHAEL P R ÄHOFER
Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2004)
— Aufgabenblatt 5 (24. Mai 2004) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 27. Unbeschränktes Denken.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Jede Menge besitzt entweder ein Maximum oder ein Minimum.
Eine Menge reeller Zahlen hat genau dann ein Supremum, wenn sie beschränkt ist.
Das Maximum einer Menge (sofern es existiert) ist immer ihr Supremum.
Das Supremum einer Menge (sofern es existiert) ist immer ihr Maximum.
Ist die Menge der Folgenglieder einer Folge endlich, so besitzt sie ein Maximum und die Folge ist konvergent.
Jede Menge, die eine obere Schranke besitzt, besitzt auch eine untere Schranke.
Falls eine Folge einen Grenzwert besitzt, dann ist die Menge der Folgenglieder beschränkt.
Der Grenzwert einer Folge ist entweder das Supremum oder das Infimum der Menge der Folgenglieder.
Aufgabe 28. Grenzwerte, die Erste.
Beweisen Sie mit Hilfe der Definition von Konvergenz, dass die untenstehenden Folgen konvergieren, bzw. divergieren:
√
n2 + n + 17
(−1)n n
an =
,
b
=
,
cn = n n,
n ∈ N, n > 0.
n
2
(n + 1)
n+1
Aufgabe 29. Grenzen-Los!
Geben Sie reelle Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N an, so daß (an ) über alle Schranken wächst ( lim an = +∞) und (bn )
n→∞
gegen 0 konvergiert ( lim bn = 0) und jeweils einer der folgenden Fälle eintritt:
n→∞
1.) lim (an · bn ) = 0.
n→∞
2.) lim (an · bn ) = c, wobei c eine beliebige vorgegebene Zahl ist.
n→∞
3.) Die Folge (an · bn )n∈N ist beschränkt, konvergiert aber nicht.
— Hausaufgaben —
Aufgabe 30. Am Anfang ist das Axiom.
In der Vorlesung wurden die reellen Zahlen mit Hilfe von folgenden Axiomen beschrieben:
K ÖRPERAXIOME : (R∗ = R\{0})
(KA1) ∀x ∈ R ∀y ∈ R ∀z ∈ R : (x + y) + z = x + (y + z) (KM1) ∀x ∈ R∗ ∀y ∈ R∗ ∀z ∈ R∗ : (x · y) · z = x · (y · z)
(KA2) ∃0 ∈ R ∀x ∈ R : 0 + x = x + 0 = x
(KM2) ∃1 ∈ R∗ ∀x ∈ R∗ . 1 · x = x · 1 = x
(KA3) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0
(KM3): ∀x ∈ R∗ ∃y ∈ R∗ : x · y = 1
(KA4) ∀x ∈ R ∀y ∈ R : x + y = y + x
(KM4) ∀x ∈ R∗ ∀y ∈ R∗ : x · y = y · x
(KD) ∀x ∈ R ∀y ∈ R ∀z ∈ R : x · (y + z) = x · y + x · z
Die ersten vier Axiome besagen, dass (R, +) eine kommutative Gruppe ist. Das (additiv) Inverse von x wird auch
mit −x bezeichnet. Die nächsten vier Axiome besagen, dass (R∗ , ·) eine kommutative Gruppe ist. Das (multiplikativ)
Inverse von x wird auch mit x1 bezeichnet. Alle 9 Axiome besagen, dass (R, +, ·) ein Körper ist.
O RDNUNGSAXIOME :
Die Menge der positiven reellen Zahlen R+ wird durch folgende Axiome beschrieben:
(A1) Für jedes x ∈ R gilt genau eine der folgenden drei Aussagen: (i) x = 0 (ii) x ∈ R+
(A2) ∀x ∈ R ∀y ∈ R : x ∈ R+ ∧ y ∈ R+ =⇒ x + y ∈ R+
(A3) ∀x ∈ R ∀y ∈ R : x ∈ R+ ∧ y ∈ R+ =⇒ x · y ∈ R+
(iii) −x ∈ R+
VOLLST ÄNDIGKEITSAXIOM :
(V) Jede nicht leere nach oben beschränkte Menge M ⊂ R besitzt eine kleinste obere Schranke in R.
Mithilfe der Axiome A1 - A3 lassen sich die Relationen “<”, “≤”, “>” und “≥ definieren, z.B.
(U) x ≤ y ⇐⇒ y + (−x) ∈ R+ ∪ {0}.
1.) Beweisen Sie die Aussage “1 ∈ R+ ”, indem Sie ausschließlich obige Axiome verwenden. Geben Sie in jedem
Beweisschritt das verwendete Axiom an.
2.) Gehen Sie nun davon aus, daß alle Folgerungen aus den Körperaxiomen bewiesen vorliegen (nicht jedoch alle
Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen). Leiten Sie nötige Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen her,
um schließlich die Dreiecksungleichung |x + y| ≤ |x| + |y| beweisen zu können. Geben Sie wieder in jedem
Beweisschritt an, welches Axiom Sie verwenden.
Aufgabe 31. Grenzwerte, die Zweite.
1.) Und nochmals: Stellen Sie fest, ob die untenstehenden Folgen konvergieren, und bestimmen Sie gegebenenfalls
den Grenzwert:
n
√
√
1
2n2 − 3n + 4
,
b
=
1
−
,
cn = n + 1 − n,
n ∈ N, n > 0.
an =
n
2
2
n +n
n
√
2.) Es sei x ≥ 0. Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Folge ( n x)n∈N in Abhängigkeit von x.
Aufgabe 32. Tricky Triangle.
Calvin hat offensichtlich Probleme mit zwei besonders schweren Aufgaben. Eine Lösung hat er von Susie, aber Susie
will ihm nicht verraten, was die zweite Lösung ist. Helfen Sie Calvin! Wie wir aus zuverlässiger Quelle wissen, lautet
die Aufgabe wie folgt:
Das große Dreieck habe den Flächeninhalt a. Wie kann man die “Summe” der Flächeninhalte der (unendlich vielen)
schraffierten Dreiecke bestimmen (in Abhängigkeit von a)?
Abgabe der Hausaufgaben:
wegen Pfingsten bis Montag, 7. Juni 2004, 12:15 in den Briefkästen, UG.