Gegeben ist die in D = R definierte Funktion: x ↦→ y = f(x) = |x + 1|−|

Gegeben ist die in
D = R definierte Funktion:

2


 |x + 1| − |x + 2x − 3|
x 7→ y = f (x) = 2


 3 − (x − 2)2
für x ∈ ] − ∞; −3]
für x ∈ ] − 3; 1]
für x ∈ ]1; +∞[
(a) Schreibe die Funktionsdefinition in betragsfreier Darstellung.
(b) Bestimme alle Nullstellen der Funktion.
(c) Untersuche die Funktion für x > 2 auf Monotonie.
(d) Fertige eine saubere Zeichnung des Funktionsgraphen.
(e) Untersuche die Funktion auf Beschränktheit und gib den Wertebereich der Funktion an.
Ergebnisse (Auf sorgfältige und saubere Bearbeitung wird Wert gelegt!)
(a) Lös.:
Für x ∈ ] − ∞; −3] gilt:
|x + 1| − |x2 + 2x − 3| = |x + 1| − |(x + 3)(x − 1)|
= −(x + 1) − (x2 + 2x − 3)
= −x − 1 − x2 − 2x + 3
= −x2 − 3x + 2
x 7→ y = f (x) =

2


 x − 3x + 2
2


 3 − (x − 2)2
für x ∈ ] − ∞; −3]
für x ∈ ] − 3; 1]
für x ∈ ]1; +∞[
(b) Lös.:
−x2 − 3x + 2 = 0
p
3 ± 9 − 4 · (−1) · 2
⇐⇒ x1,2 =
−2
√
√
−3 + 17
−3 − 17
∨ x2 =
⇐⇒ x1 =
2
2
Für x ∈ ] − ∞; −3] einzige Nullstelle N1 (x1 |0).
Für x ∈ ]1; +∞[:
3 − (x − 2)2 = 0
√
⇐⇒ |x − 2| = 3
√
√
⇐⇒ x3 = 2 + 3 ∨ x4 = 2 − 3
Für x ∈ ]1; +∞[ einzige Nullstelle N2 (x3 |0).
(c) Lös.:
Es sei 2 < x1 < x2 vorausgesetzt. Der Funktionsterm im angegebenen Intervall
ist f (x) = 3 − (x − 2)2 .
x1 < x 2
− 2}
x
− 2} < x
| 1{z
| 2{z
=⇒
>0
=⇒
=⇒
=⇒
| ( )2
>0
(x1 − 2)2 < (x2 − 2)2
− (x1 − 2)2 > − (x2 − 2)2
| · (−1)
| +3
f (x1 ) = 3 − (x1 − 2)2 > 3 − (x2 − 2)2 = f (x2 )
Die Funktion ist im angegebenen Intervall streng monoton abnehmend, der
Graph fällt streng monoton.
(d) Lös.: Im Intervall −∞; −3] gilt:
f (x) = −x2 − 3x + 2
= −(x2 + 3x + 1, 52 ) + 2 + 2,25
= 4,25 − (x + 1, 5)2
y
6
5
4
3
2
1
x
0
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
1
3
4
5
6
Clavius−Gymnasium Bamberg
−2
2
−3
−4
−5
K.Völkel
−6
(e) Lös.:
Die Funktion ist nach oben beschränkt, da gilt sup f (x) = 3. Das Supremum
x∈D
wird angenommen, da f (2) = 3. Die Funktion ist nach unten nicht beschränkt,
ein Infimum existiert nicht. Für den Wertebereich erhält man W =] − ∞; 3].