Ausgewählte Lösungen des Tests zu Analysis I

WS 2008/09
Prof. Dr. R. Schneider
Ausgewählte Lösungen des Tests zu Analysis I
6. Sei f : R −→ R , x 7−→ x2 . Bestimme die folgenden Ausdrücke
(a) f (4) = 16.
(b) f −1 (4) ist undefiniert, da f keine Umkehrfunktion besitzt.
¡ ¢
(c) f −1 {4} = {−2, 2}.
¡
¢
(d) f −1 ] − 4, 4] = [0, 2[.
7. Welche der folgenden Funktionen besitzen Umkehrfunktionen? Begründe die Antwort.
(a) f : R −→ R , x 7−→ x2 , besitzt keine Umkehrfunktion, da f (−2) =
4 = f (2). Damit ist f nicht injektiv, also auch nicht bijektiv.
(b) g : R −→ R , x 7−→ 3x − 1, besitzt die Umkehrfunktion g −1 :
R −→ R , x 7−→ y+1
.
3
1
, besitzt keine Umkehrfunk(c) h : R \ {−1, 1} −→ R , x 7−→ 2
x −1
tion, da h(−2) = 13 = h(2). Damit ist h nicht injektiv, also auch
nicht bijektiv.
9. Sei m ∈ N . Ist N m gleichmächtig zu N ?
Ja.
10. Ist Q gleichmächtig zu N ?
Ja.
11. Ist R gleichmächtig zu Q ?
Nein.
12. Ist C gleichmächtig zu R ?
Ja.
14. Gib
der Menge {1, 2, 3} an.
¡ die Potenzmenge
¢ ©
ª
P {1, 2, 3} = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .
19. Gegeben sei die Menge M := {3− n3 | n ∈ N }. Bestimme das Supremum
von M mit Beweis.
sup M = 3.
1
23. Beweise die Mengengleichheit
[
[−n, n] × [−n, n] = R 2 .
n∈N
Tipp: Benutze die Archimedische Eigenschaft.
1. (a) In welcher Menge liegen für alle z ∈ C die Zahlen
z · z ∈ R ≥0 ,
z + z ∈ R,
(b) Rationalisieren sie den Nenner der Zahl
z − z ∈ iR .
1+i
3+4i
=
7
25
1
− i 25
.
29. (b) Erzeugt jede Metrik eine Norm?
Nein. Falls (X, d) ein metrischer Raum ist, braucht X kein Vektorraum zu sein, somit kann d im Allgemeinen keine Norm erzeugen.
(c) Erzeugt jede Norm eine Metrik?
Ja. Die Eigenschaften der Metrik ergeben sich automatisch aus
den Norm-Eigenschaften.
31. Hängt das innere Produkt mit einer Norm zusammen?
Das innere Produkt hängt im R n nur mit der euklidischen Norm zusammen und es gilt:
∀ x ∈ R n : kxk2 = hx, xi1/2 .
34. Hat die Menge aller positiven Brüche M := { pq | p, q ∈ N } Häufungspunkte außerhalb von M oder innere Punkte in (Q , | · |)?
Die 0 ist Häufungspunkt außerhalb von M , da die Folge ( n1 )n∈N auch
in (Q , | · |) gegen 0 konvergiert. Alle Punkte aus M sind in (Q , | · |)
innere Punkte.
35. Wie sieht der Rand von Q im Raum (R , | · |) aus?
∂Q = Q ∩ R \ Q = R ∩ R = R .
39. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Gilt die Aussage:
∀A ⊆ X : X \ A = X \ A.
Nein. Denn für die Mengen X = R und A = R \ {0} gilt
X \ A = R \ (R \ {0}) = {0} = {0},
aber auch
R \ R \ {0} = R \ R = ∅.
2
43. Bitte gegebenenfalls Gegenbeispiele angeben.
(a) Ist die beliebige Vereinigung von dichten Mengen wieder dicht?
Ja.
(b) Ist der beliebige Schnitt von kompakten Mengen mit nicht leerem
Schnitt wieder kompakt?
Ja. Denn kompakte Mengen sind insbesondere abgeschlossen und
somit ist der beliebige Schnitt von kompakten Mengen mit nicht
leerem Schnitt abgeschlossen. Dies ist aber eine abgeschlossene
Teilmenge einer/ vieler kompakter Mengen und damit kompakt.
47. Widerlege folgende Sätze durch Gegenbeispiele:
(a) Jede konvergente Folge ist monoton.
¶
µ
(−1)n
.
n
n∈N
(b) Jede monotone Folge ist konvergent.
(n)n∈N .
(c) Jede beschränkte Folge ist konvergent.
³
´
(−1)n
.
n∈N
(d) Jede konvergente Folge ist beschränkt und monoton.
Jede konvergente Folge ist beschränkt aber nicht immer monoton,
siehe (a).
48. Untersuche die Folge (an )n∈N mit an =
3+(−1)n
n
auf
(a) Beschränktheit,
¯ 3 + (−1)n ¯
¯ = | 1 | · |3 + (−1)n | < 4.
|an | = ¯
n
n
(b) Monotonie.
2
a3 = ,
3
a2 = 2,
Damit ist (an )n∈N nicht monoton.
3
a4 = 1.
(c) Konvergenz.
Definiere die Folgen (bn )n∈N , (cn )n∈N durch bn = 3 + (−1)n und
cn = n1 für alle n ∈ N . Da (an )n∈N = (bn cn )n∈N ist, (bn )n∈N eine
beschränkte Folge ist und (cn )n∈N eine Nullfolge ist, folgt nach
einer Übungsaufgabe, dass (an )n∈N auch eine Nullfolge ist.
Bestimme außerdem den Limes inferior und den Limes superior.
Da nach (c) die Folge (an )n∈N konvergent ist, ist der Limes inferior und
der Limes superior gleich dem Grenzwert der Folge (an )n∈N .
53. Gegen welchen Grenzwert konvergieren die beiden Folgen
³ xn ´
n!
³ 3n2 + n ´
,
2n2 + 6
n∈N
xn
= 0,
n→∞ n!
∀x ∈ R : lim
?
n∈N
3n2 + n
3
=
n→∞ 2n2 + 6
2
lim
56. Gib eine nicht konvergente Cauchy-Folge in ] − 1, 1] an.
Die Folge ( n1 −1)n∈N konvergiert gegen -1. Alle Folgenglieder bis auf den
Grenzwert sind in der obigen Menge, somit ist dies eine Cauchyfolge in
] − 1, 1].
4