Adµ - Universität Stuttgart

R
Adµ
Universität Stuttgart
Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 11
Aufgabe 11.1 (schriftlich, 6 Punkte) Sei (an )n∈N eine Folge komplexer Zahlen. Man
nennt die Folge der Partialsummen (sn )n∈N mit
sn :=
n
X
ak ,
k=1
eine Reihe.
a) Zeigen Sie: Ist die Folge (sn )n∈N konvergent, so gilt limn→∞ an = 0.
b) Wir weisen nach, dass die Umkehrung von a) nicht gilt. Sei an := 1/n. Zeigen Sie,
dass
n
X
1
m
≥1−
k
n
k=m+1
und argumentieren Sie dann, dass (sn )n∈N keine Cauchy-Folge und somit nicht
konvergent ist.
c) Wir setzen
s′n
:=
n
X
|ak |
und
s′′n
Zeigen Sie: Ist die Folge
|ak |2 .
k=1
k=1
(s′n )n∈N
:=
n
X
konvergent, so konvergiert auch (s′′n )n∈N
Aufgabe 11.2 Sei (an )n∈N eine konvergente Folge reeller Zahlen mit limn→∞ an = a. Wir
setzen
αn := inf{ak | k ≥ n}
und
βn := sup{ak | k ≥ n}.
Man zeige, dass die Folgen (αn )n∈N und (βn )n∈N monoton wachsend bzw. monoton
fallend gegen a konvergieren.
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Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Aufgabe 11.3 Für eine Teilmenge A ⊆ C definieren wir die Abstandsfunktion dA : C → R
durch
dA (z) := inf{|z − a| | a ∈ A}.
a) Sei A ⊆ C abgeschlossen und sei (an )n∈N eine konvergente Folge komplexer Zahlen
mit an ∈ A für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass
lim an ∈ A.
n→∞
b) Sei A ⊆ C abgeschlossen. Zeigen Sie, dass es zu jedem z ∈ C ein a ∈ A gibt, so
dass dA (z) = |z − a|.
c) Zeigen Sie: A ⊆ C ist genau dann abgeschlossen, wenn
A = {z ∈ C | dA (z) = 0}
gilt.
Aufgabe 11.4 Sei ℓ∞ (R) der Vektorraum der beschränkten Folgen reeller Zahlen, d.h.
∞
ℓ (R) := (an )n∈N an ∈ R für alle n ∈ N und sup |an | < ∞ ,
n∈N
wobei die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar gegeben sind durch
(an + bn )n∈N = (an )n∈N + (bn )n∈N
und
α · (an )n∈N = (α · an )n∈N .
Zeigen Sie, dass
k(an )n∈N k∞ := sup |an |
n∈N
ℓ∞ (R)
eine Norm auf
definiert. Mit dieser Norm ist ℓ∞ (R) ein normierter Vektorraum.
Finden Sie eine beschränkte Folge in ℓ∞ (R), genauer eine Folge (bn )n∈N mit bn ∈ ℓ∞ (R)
und
kbn k∞ ≤ 1 für alle n ∈ N,
die keine konvergente Teilfolge besitzt.
Bemerkung: Das zeigt, dass der Satz von Bolzano-Weierstraß in ℓ∞ (R) nicht gilt. Das
liegt daran, dass dieser Vektorraum nicht endlich-dimensional ist.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 26.01.2017, bzw. Freitag, den 27.01.2017.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.