Analysis 2 (SS 2016) — Blatt 9

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Übung: 10. Juni 2015
Analysis 2 (SS 2016) — Blatt 9
Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient um seine Gedanken gesund und
kräftig zu erhalten.
(H. Weyl, 1885-1955)
Aufgaben zur schriftlichen Abgabe in der Übung am 10. Juni 2015:
9.1. (a) Zeigen Sie, dass jede absolut konvergente Reihe
ist.
P∞
n=1 an
mit Gliedern an ∈ Rd konvergent
(b) Zeigen Sie, dass für A ∈ M (m × n, R) und B ∈ M (n × l, R) gilt:
kABk ≤ kAkkBk.
(c) Sei A ∈ M (n × n, R) mit kAk < 1. Zeigen Sie, dass dann
P∞
n
n=0 A
konvergent ist.
9.2. Sei D ⊂ Rd . Zeigen Sie:
(a) x ∈ D̊
genau dann, wenn Bε (x) ⊂ D für ein ε > 0
(b) x ∈ D
genau dann, wenn Bε (x) ∩ D 6= ∅ für alle ε > 0
(c) D = D ∪ {x ∈ Rd : x ist ein Häufungspunkt von D}.
Votieraufgaben:
9.3. Der Abstand d(A, B) zweier Mengen A, B ⊂ Rd ist definiert durch
d(A, B) := inf{|x − y| : x ∈ A, y ∈ B}.
(a) Sei A ⊂ Rd kompakt und B ⊂ Rd abgeschlossen und A ∩ B = ∅. Zeigen Sie, dass dann
d(A, B) > 0.
(b) Stimmt die Aussage von (a) auch dann noch, wenn man die Voraussetzung an A zu A
”
abgeschlossen“ abschwächt?
9.4. Sei I eine endliche Indexmenge und Xi ⊂ Rd für alle i ∈ I. Zeigen Sie, dass dann
\ ◦ \
Xi =
Xi◦ .
i∈I
i∈I
Stimmt das auch noch für unendliche oder wenigstens für abzählbare Indexmengen I?
9.5. Bestimmen Sie das Innere, den Abschluss und den Rand der folgenden Mengen im R2 . Welche
der Mengen sind offen bzw. abgeschlossen?
Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Übung: 10. Juni 2015
(c) M3 = (1/m, 1/n) : m, n ∈ Z \ {0}
(a) M1 = N × Q
∞
[
(b) M2 =
1/(n + 1), 1/n × (0, n)
n=1
(d) M4 =
∞
[
B1/n ((1/n, n)).
n=1
9.6. Sei n ∈ N und O(n) := {A ∈ M (n × n, R) : AT A = En } die orthogonale Gruppe, wobei En die
Einheitsmatrix in M (n × n, R) bezeichnet. Zeigen Sie, dass O(n) abgeschlossen und beschränkt,
also kompakt ist.
Zusatzaufgaben:
9.7. Sei V := C([0, 2π], C) der Vektorraum der stetigen Funktionen auf [0, 2π] mit Werten in C und
sei kf k := supx∈[0,2π] |f (x)| für f ∈ V . Ähnlich wie in Rd wird in V durch die Norm k . k ein
Konvergenzbegriff definiert durch
fn → f
genau dann, wenn kfn − f k → 0.
Zeigen Sie, dass die Einheitskugel B := {f ∈ V : kf k ≤ 1} von V nicht folgenkompakt ist
(obwohl sie abgeschlossen und beschränkt ist). Konstruieren Sie hierzu eine Folge (fn ) in B mit
kfn − fm k ≥ δ für alle m 6= n und ein δ > 0.