0.¨Ubung zur Linearen Algebra I - Präsenzübung

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. Dr. U. Helmke
Dr. Ch. Lageman
Wintersemester 2010/11
Würzburg, den 22.10.2010
0. Übung zur Linearen Algebra I - Präsenzübung
0.1. Sei ein festes n ∈ N gegeben. Wir betrachten Z die Menge der ganzen Zahlen und definieren
auf Z die Relation ∼n durch
a ∼n b ⇔ ∃k ∈ Z : a = b + kn.
(a) Kann man die Definition für ∼n auch anders angeben ?
(b) Zeigen Sie, dass ∼n eine Äquivalenzrelation ist !
(c) Wieviele Äquivalenzklassen gibt es ? Geben Sie diese an !
0.2. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) ∀q ∈ Q \ {0} ∃n ∈ N ∃m ∈ Z : q =
n
m
(b) ∀z ∈ Z ∃n ∈ N : z 2 > n ∧ n > z
(c) ∃n ∈ N ∃m ∈ N ∃p ∈ N : n2 = m2 + p2
(d) ∀n ∈ N ∃m ∈ {s | s = 2k, k ∈ N} : n = m + 1
(e) ∀n ∈ N ∃m ∈ Z : 2m > n
0.3. Sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a)
(b)
• ∀x ∈ M : A(x) ⇒ B(x)
• ∀x ∈ {y ∈ M |A(y)} : B(x)
• ∃x ∈ M : A(x) ∧ B(x)
• ∃x ∈ {y ∈ M |A(y)} : B(x)
Ist die Aussage auch zu “∃x ∈ M : A(x) ⇒ B(x)” äquivalent ?
0.4. Sei M = ∅ und A(x) eine beliebige Aussage mit Variable x. Sind die folgenden Aussagen
wahr oder falsch ?
(a) ∃x ∈ M : A(x)
(b) ∀x ∈ M : A(x)