4.0 VU Theoretische Informatik und Logik

4.0 VU Theoretische Informatik und Logik
Vorlesungsprüfung
Kennzahl
Matrikelnummer
SS 2007
17. Jänner 2008
Familienname
Vorname
Gruppe
A
1.) Seien r1 = (a + b)∗ c∗ a∗ und r2 = a∗ b∗ (a + c)∗ reguläre Ausdrücke über Σ = {a, b, c}.
a) Geben Sie ein Wort der Länge 5 an welches in L(r1 ) liegt, aber nicht in L(r1 ) ∩ L(r2 ).
(5 Punkte)
b) Konstruieren Sie einen endlichen Automaten welcher L(r1 ) (also das Komplement von
L(r1 )) akzeptiert.
(6 Punkte)
2.) Sei L = {an(n−1) | n ∈ ω}. Beweisen Sie, dass L nicht regulär ist.
(12 Punkte)
3.) Sei L1 = L(x 0 + x 1(0 + 1)∗ ).
Die Sprache L2 sei definiert wie folgt:
– L1 ⊆ L2 ,
– wenn x, y ∈ L2 dann auch ( x + y ) ∈ L2 .
Geben Sie eine kontextfreie Grammatik in Chomsky Normalform an welche L2 erzeugt.
(12 Punkte)
4.) Finden Sie durch Konstruktion eines geeigneten Ableitungsversuchs im Sequentialkalkül
(NICHT Tableau-Kalkül!) entweder den Nachweis, dass die aussagenlogische Formel
((A ∧ ¬C) ⊃ (B ∨ C)) ⊃ (B ∧ ¬B)
gültig ist oder ein entsprechendes Gegenbeispiel.
(11 Punkte)
5.) Beweisen Sie folgende Behauptungen mit der jeweils angegebenen Methode oder geben Sie
geeignete Gegenbeispiele an.
a) Mit Hilfe des Tableau-Kalküls:
[(∀y)(∃x)(P (x, y)] ∧ [(∃x)P (b, x)] folgt logisch aus (∀x)P (x, x).
(6 Punkte)
b) Mit Hilfe des Resolutionsverfahrens: (∀x)P (a, x) ⊃ (∀y)(∃x)P (x, f (y)) ist eine gültige
Formel.
(6 Punkte)
6.) Kreuzen Sie bei jeder der folgenden Aussagen an, ob sie richtig oder falsch ist. Es ist keine
Begründung notwendig.
Es gibt Modellstrukturen, in denen nicht für jedes Element
der Domäne D ein Konstantensymbol existiert.
Richtig 2
Falsch 2
Aus dem Deduktionstheorem folgt: Wenn F eine logische
Konsequenz von G ist, dann ist G ⊃ F gültig.
Richtig 2
Falsch 2
Manche AL-Formeln sind eine logische Konsequenz einer
Tautologie.
Richtig 2
Falsch 2
Wenn zwei prädikatenlogische Formeln logisch äquivalent
sind, dann sind sie auch erfüllungsäquivalent.
Richtig 2
Falsch 2
Die Klauselmenge {{}} ist erfüllbar.
Richtig 2
Falsch 2
{P (x), P (f (a))} ist eine unifizierbare Menge von Literalen.
Richtig 2
Falsch 2
Jede richtige Antwort zählt +2 Punkte, jede falsche −2 Punkte, fehlende Antworten 0 Punkte.
Negative Summen werden auf 0 aufgerundet, d.h., negative Punkte übertragen sich nicht auf
andere Beispiele.
(12 Punkte)